wie schon mehrfach in den Antworten gezeigt ist \((x^2-2x-15):(x+4)=x-6+\frac{9}{x+4}\) Du löst also:$$\int_{}^{}x-6+\frac{9}{x+4} \text{ dx}$$$$9\int_{}^{}\frac{1}{x+4} \text{ dx}+\int_{}^{}x\text{ dx}-\int_{}^{}6\text{ dx}$$ Wir betrachten nun erst einmal nur \(9\int_{}^{}\frac{1}{x+4} \text{ dx}\), da der Rest ziemlich triviale Ergebnisse liefert:$$9\int_{}^{}\frac{1}{x+4} \text{ dx}$$ Es lohnt sich nun \(t:=x+4\) zu substituieren. Beachte dabei, dass \(t'=1\), weshalb \(\text{dx}=\text{dt}\). Daraus folgt:$$9\int_{}^{}\frac{1}{t} \text{ dt}$$ Ihr solltet besprochen haben, dass das ein Standardintegral ist und \(9\int_{}^{}\frac{1}{t} \text{ dt}=9\ln(t)+C\) ergibt. Nun addierst du die anderen gelösten unbestimmten Integral dazu und resubstituierst \(t:=x+4\):$$F(x)=9\ln(x+4)+\frac{1}{2}x^2-6x+C$$ Du musst nun noch die Betragsstriche bei \(\ln(...)\) machen und mit ein wenig Make-up kommst Du auf die Musterlösung.
