Quadratische Funktion Minimum

Question

Aufgabe: Es wird das Produkt aus einer Zahl vermehrt um 40 und dem Vierfachen der Zahl gebildet.

Die Funktionsgleichung ist y= (x+40)*4x

a) Setze für x drei verschiedene Zahlen ein und berechne das Produkt.

b) Für welchen x-Wert ist das Produkt am kleinsten?

Answer 1

Aufgabe: Es wird das Produkt aus einer Zahl vermehrt um 40 und dem Vierfachen der Zahl gebildet.

Die Funktionsgleichung ist y= (x + 40)·(4·x)

a) Setze für x drei verschiedene Zahlen ein und berechne das Produkt.

y= (1+40)*4*1 = 164

y= (2+40)*4*2 = 336

y= (3+40)*4*3 = 516

b) Für welchen x-Wert ist das Produkt am kleinsten?

y = (x + 40)·(4·x) = 0

Die Nullstellen sind bei 0 und bei -40. Beim Mittelwert x = -20 sollte der Funktionswert am kleinsten sein.

y = (-20 + 40)·(4·(-20)) = -1600

Answer 2

Die Funktionsgleichung ist y= (x+40)*4x

a) Setze für x drei verschiedene Zahlen ein und berechne das Produkt.

x=0 Produkt = 0

x=1 Produkt = 161

x=1/4 Produkt = 40 1/4

b) Für welchen x-Wert ist das Produkt am kleinsten?

Die Nullstellen der Parabel  liegen bei 0 und -40.

Der Scheitelpunkt liegt bei x=-20, hier ist der Wert am kleinsten

Answer 3

a) z.B :

x= 0 ;--> y= 0

x=1 :y=41*4=164

usw.

b)

y=(x+40) 4x

y= 4x^2+160x

y'= 8x +160 =0

x= -20 (Nachweis über die 2. Ableitung noch erbringen)

falls das mittels Differentialrechnung getan werden kann.

Answer 4

Die drei Zahlen einsetzen und das Produkt berechnen kannst du sicherlich selber.

Die Gleichung ergibt eine nach oben geöffnete Parabel und die y-Koordinate des Scheitelpunktes entspricht dem kleinsten Produkt.

Du kannst die Normalform der Parabel in die Scheitelpunktform umwandeln, um den Tiefpunkt zu bestimmen, oder du berechnest die Nullstellen und nimmst den Punkt zwischen den beiden Stellen = x-Koordinate des Scheitelpunktes.