Man muss zeigen, dass jedes Bild von f (mindestens) ein Urbild hat. Das wiederum kann man zeigen, indem man eine entsprechende Berechnungsvorschrift angibt.
Ich nehme an, dass sowohl die Urbildmenge als auch die Bildmenge die Menge R x R ist.
Sei also, f : ( R x R ) → ( R x R ) mit ( x , y ) ↦ ( x + y , x - y ) = ( a , b )
Also:
a = x + y
b = x - y
Auflösung dieses Gleichungssystems nach x und y:
<=>
x = a - y
x = b + y
<=> (zweite Gleichung - erste Gleichung, zweite Gleichung wird beibehalten:)
0 = a - b - 2 y
x = b + y
<=>
2 y = a - b
x = b + y
<=> ( aus erster Gleichung Term für y berechnen und in die zweite Gleichung einsetzen:)
y = ( a - b ) / 2
x = b + ( a - b ) / 2 = ( a + b ) / 2
Sowohl ( a- b ) / 2 als auch ( a + b ) / 2 sind Elemente aus R, also ist auch ( x , y ) ein Element aus R x R.
Also: Aus jedem Element ( a , b ) der Bildmenge R x R der Funktion f lässt sich
das (ein) Urbild ( x , y ) ∈ R x R durch die Vorschrift:
( x , y ) = ( ( a + b ) / 2 , ( a - b ) / 2 )
berechnen. Damit ist gezeigt, dass f surjektiv ist.
Hinweis: Die Funktion
f * : ( Z x Z ) → ( Z x Z ) mit ( x , y ) ↦ ( x + y , x - y )
ist **nicht** surjektiv, da z.B. ( 2 , 3 ) kein Urbild hat. Denn das Urbild von ( 2 ,3 ) ist gemäß der gezeigten Berechnungsvorschrift:
( x , y ) = ( ( 2 + 3 ) / 2 , ( 2 - 3 ) / 2 ) = ( 5 / 2 , -1 / 2 )
Das aber ist kein Element aus Z x Z . Daher gibt es kein ( x , y ) ∈ Z x Z, sodass f* ( x , y ) = ( 2 ,3 ) und somit ist f* nicht surjektiv.
