Aufgabe:
$$\begin{array} { l } { \text { Berechnen Sie die erste Ableitung der Funktionen die gegeben sind durch: } } \\ { \text { (i) } c : ]0 , \infty\left[ \rightarrow \mathbb { R } , c ( x ) = x ^ { \left( x ^ { x } \right) } \right. } \\ { \text { (ii) } d : \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } , d ( x ) = \operatorname { arsinh } ( x ) , \text { wobei arsinh die Umkehrfunktion der bijektiven streng } } \\ { \text { monoton wachsenden Funktion sinh: R } \rightarrow \mathbb { R } , \sinh ( x ) = \frac { e ^ { x } - e ^ { - x } } { 2 } \text { ist. Zeigen Sie dazu } } \\ { \text { zuerst die Identität } \sinh ^ { \prime } ( x ) = \sqrt { 1 + ( \sinh ( x ) ) ^ { 2 } } } \end{array}$$
Zu der i) habe ich erstmal nur die Frage, inwiefern die Definitionsgrenzen bei der Ableitung eine Rolle spielen? Bin erstmal nur durch Ableiten der Funktion auf Folgendes gekommen, was der ableitungsrechner.net auch anzeigt:
$$ x^{x^x}\left(x^x\ln\left(x\right)\left(\ln\left(x\right)+1\right)+x^{x-1}\right) $$
Bin mir aber nicht sicher, ob das dann so korrekt ist oder ob der Bereich irgendwie einen großen Einfluss darauf hat, hab damit gerade zum ersten Mal zu tun.
Bei der ii) habe ich angefangen, indem ich versucht habe, cosh(x) mit gegebenem sinh'(x) gleichzusetzen und dann umzuformen, bin da aber völlig überfragt bzw. habe keinen weiteren Ansatz, weil ich da auf nichts Hilfreiches komme.
Würde mich über Hilfe sehr freuen, bin leider am Verzweifeln.
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