Kombinatorik (Wahrscheinlichkeitsrechnung)

Question

Aufgaben:

Beispiel 2.2. Um eine Mathematik-Ubung zu bestehen, müssen von 12 Aufgaben mindestens ¨
9 Aufgaben gelöst werden. Die ersten 5 Aufgaben sind dabei jedenfalls zu machen. Wieviele
verschiedene Möglichkeiten gibt es, die Ubung mit minimalem Aufwand zu erledigen? ¨

Beispiel 2.3. Eine Lieferung von 20 Bildschirmen enthält 3 fehlerhafte Fabrikate. Es werden
wahllos 4 Schirme herausgenommen und getestet.
a) Wieviele verschiedene Stichproben können insgesamt genommen werden?
b) Wie groß ist dabei der Anteil jener Stichproben, die genau k schadhafte Bildschirme
enthalten (k ∈ {0, 1, 2, 3})?

Problem/Ansatz:

 Binomialkoefficient

Comments

c... Binomial Coefficient
2.2
ersten 5 Aufgaben sind dabei jedenfalls zu machen =9−5
von 12 Aufgaben mindestens 9 Aufgaben gelöst werden =12!

meine Lösung: \( \frac{12!}{(9-5)!} \)

2.3
a)
meine Lösung: c(20,4)
b)
k=0
\( \frac{c(3,0)⋅c(17,4)}{c(20,4)} \)

k=1
\( \frac{c(3,1)⋅c(17,3)}{c(20,4)} \)

k=2
\( \frac{c(3,2)⋅c(17,2)}{c(20,4)} \)


k=3
\( \frac{c(3,3)⋅c(17,1)}{c(20,4)} \)

.... ist das Richtig?

Answer 1

Die ersten 5 Aufgaben sind dabei jedenfalls zu machen.

Aus den restlichen 12-5 Aufgaben müssen noch 9-5 Aufgaben ausgewählt werden, dazu gibt es

    \(\binom{12-5}{9-5}=\binom{7}{4}=\frac{7!}{4!(7-4)!}\)

Möglichkeiten.

Wieviele verschiedene Stichproben können insgesamt genommen werden?

Es können \(\binom{20}{4}\) Stichproben genommen werden.

Wie groß ist dabei der Anteil jener Stichproben, die genau k schadhafte Bildschirme
enthalten

Wenn k schadhafte Bildschirme enthalten sind, dann sind 4-k funktionsfähige Bildschirme enthalten. Diese werden aus 20-3 Bildschirmen ausgewählt. Zu jeder so ausgewählten Möglichkeit gibt es \(\binom{3}{k}\) Möglichkeiten, die schadhaften Bildschirme auszuwählen. Also gibt es \(\binom{3}{k} \cdot \binom{20-3}{4-k}\) Stichproben mit k schadhaften Bildschirmen Der Anteil ist also \(\frac{\binom{3}{k}\cdot \binom{20-3}{4-k}}{\binom{20}{4}}\)