Koordinatentransformation 1

Question

Sei E das Standardkoordinatensystem von ℝ³. Zudem seien

F = (\( \begin{pmatrix} -2\\1\\1 \end{pmatrix} \); \( \begin{pmatrix} -3\\1\\2 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\-4\\2 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} -4\\1\\3 \end{pmatrix} \)),

α: ℝ³ → ℝ³: v → \( \begin{pmatrix} 8 & 6 & 1/2 \\ -2 & -2 & -2 \\ -6 & -4 & 1 \end{pmatrix} \) v + \( \begin{pmatrix} 1/2\\-1\\-2 \end{pmatrix} \).

a) Ist F ein affines / kartesisches Koordinatensystem? Bestimmen Sie _Eκ_F und _Fκ_E.

b) Geben Sie die Beschreibung _Fα_F der Abbildung α bezüglich F an

Comments

Hi, hat jemand vielleicht eine Ahnung wie diese Aufgabe hier geht?

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Vom Duplikat:

Titel: Koordinatentransformation: kappa erzeugen macht Probleme

Stichworte: matrix,koordinatensystem,kappa

Aufgabe:

Sei E das Standardkoordinatensystem in R^3. Zudem seien

F=$$\left( \left( \begin{array} { c } { - 2 } \\ { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) ; \left( \begin{array} { c } { - 3 } \\ { 1 } \\ { 2 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { - 4 } \\ { 2 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { c } { - 4 } \\ { 1 } \\ { 3 } \end{array} \right) \right)$$ , $$\alpha : \mathbb { R } ^ { 3 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } : v \mapsto \left( \begin{array} { c c c } { 8 } & { 6 } & { 1 / 2 } \\ { - 2 } & { - 2 } & { - 2 } \\ { - 6 } & { - 4 } & { 1 } \end{array} \right) v + \left( \begin{array} { c } { 1 / 2 } \\ { - 1 } \\ { - 2 } \end{array} \right)$$

(a) Ist F ein affines / kartesisches Koordinatensystem? Bestimmen Sie $$\mathbb { E }  { \kappa } _ { \mathbb { F } } \text { und } _ { \mathbb { F } } \kappa _ { \mathbb { E } }$$

(b) Geben sie die Beschreibung $$\mathbb { F } ^ { \alpha } \mathbb { F }$$ der Abbildung α bezüglich F an.

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Es gibt viele "ähnliche Fragen" unten. Bsp. https://www.mathelounge.de/601953/koordinatentransformation-1

...

Was genau verstehst du nicht / kennst du nicht ?

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Hat dir https://www.mathelounge.de/601969/koordinatentransformation-2 gar nichts genützt? Was genau verstehst / kennst du nicht?

Hier wohl nochmals mit anderen Zahlen: https://www.mathelounge.de/602380/koordinatentransformation

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hauptsächlich machten mir die kapa erzeugen problem, ich hab noch nicht ganz durchschaut welche matrix der ursprung, welche das ende und wie man das ganze richtig ran gehen soll

Answer 1

Ja Lu hat schon Recht mit der Frage: 'Was verstehst Du nicht?'

\({_EK_F}\) brauchst Du nur abschreiben$${_EK_F}: \space \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3: \space {_Fv} \to {_Ev} = \begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-3& 1& -4\\ 1& -4& 1\\ 2& 2& 3\end{pmatrix}\cdot {_Fv}$$

\({_FK_E}\) könntest Du jetzt über das Verfahren der inversen 4x4-Matrix berechnen, das ich Dir bei Koordinatentransformation 2 gezeigt habe. Es reicht aber auch aus, zunächst nur die Matrix \(A\) zu invertieren; es gilt$${_AK_B}: v \to Av+p \implies {_BK_A}: v \to A^{-1}v - A^{-1}p$$Hier ist dann $$A^{-1} = \begin{pmatrix}-14& -11& -15\\ -1& -1& -1\\ 10& 8& 11\end{pmatrix}\\ {_FK_E}: {_Ev} \to {_Fv} = \begin{pmatrix}-14& -11& -15\\ -1& -1& -1\\ 10& 8& 11\end{pmatrix} \cdot {_Ev} + \begin{pmatrix}-2\\ 0\\ 1\end{pmatrix}$$

b) Geben Sie die Beschreibung FαF der Abbildung α bezüglich F an

Ich unterstelle, dass \({_E\alpha_E}\) die obige Abbildung darstellt. Die zugehörige 4x4-Matrix sei \(B\). Dann ist$$\begin{aligned} {_Ev}' &= B \cdot {_Ev} \\ {_Ev}' &= {_EK_F} \cdot {_Fv}' \\ {_Ev} &= {_EK_F} \cdot {_Fv} \\ \implies {_EK_F} \cdot {_Fv}' & = B \cdot {_EK_F} \cdot {_Fv} \\ {_Fv}' &= {_FK_E}\cdot B \cdot {_EK_F} \cdot {_Fv}  \\ &= \begin{pmatrix}-2& 8& -2\\ 1& 1& 1.5\\ 6& -2& 8\end{pmatrix} \cdot {_Fv} + \begin{pmatrix}30\\ 3\\ -20\end{pmatrix} \end{aligned}$$... die letzte Zeile habe ich gleich in der Form aus der Aufgabe geschrieben. Gerechnet habe ich mit 4x4-Matrizen.

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich ruhig nochmal.

Gruß Werner