Vektorraum V und lineare Abbildung f: V→V. Bilder linear unabhängig? Kern( f) ={0} => f surjektiv? usw?

Question

Aufgabe:

Gegeben sind ein Vektorraum V und eine lineare Abbildung f: V→V. Entscheiden Sie, ob die jeweiligen Aussagen richtig oder falsch sind und beweisen Sie Ihre Antwort.

a.)  m∈N, w₁, . . . , w_m+1 linear unabhängige Vektoren in V⇒ w₁, . . . , w_m linear unabhängige Vektoren inV.

b.) dimV < ∞,kerf={0}⇒ f surjektiv.

c.) f surjektiv⇒f bijektiv.

d.)dimV=n∈N, v₁, . . . , v_n∈V,L({v₁, . . . , vn}) =V⇒{v₁, . . . , v_n}Basis von V.

Problem/Ansatz:

 Hallo ich habe Folgendes dazu raus und würde gern bestätigt haben ob ich richtig liege oder ob ich es doch flasch gemacht habe und vorallem ob meine Begründung richtig ist. Dazu füge ich noch einen Teil meiner Zusammenfassung aus der Vorlesung zu damit man das auch nachvollziehen kann.

a) ist richtig da wenn ich w₁, ..., w_m+1  als linear unabhängige Vektoren habe dann ist auch w₁, ..., w_m  linear unabhängig da es eher Probleme gibt einen weiteren hinzu zufügen. (sehr schwamming aber mir fiel ncihts anderes ein)

b) ist richtig wegen Korollar II.3.5 plus Beweis.

c) ist auch richtig wegen Korollar II.3.5 plus Beweis

d) hab ich leider noch keine wirkliche lösung ich vermute es muss was mit dem Dimensionssatz für lineare Abbildungen zutun haben allerdings kann ich mir da jetzt keinen Reim drauf bilden.

Hoffe ihr könnt mir helfen

Comments

Mit L({v1, . . . , vn}) ist die lineare Hülle gemeint?

---

Ich bin mir nicht 100% sicher aber ich glaube schon. Kenne sonst keine andere Schreibweise für denn Spann.

Laut Wiki https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_H%C3%BClle ist dieses "L" auch geläufig.

Answer 1

a) Im Prinzip hast du richtig argumentiert, formal würde dann es so aussehen.
Sind $$w_1,..., w_{m+1}$$ lin. unabh, dann nach Definition gilt die Implikation
$$\alpha_1 w_1 +...+\alpha_{m+1}w_{m+1}=0 \Rightarrow \alpha_i = 0 \forall i$$ Speziell für $$\alpha_{m+1}=0$$ steht da genau die Definition der linearen Unabhängigkeit von w_1...w_m.
 
b) Ok

c) Falsch, (Korollar gilt für endlich dim Raum). Zum Beispiel $$V=\mathbb Z_2\times...\quad f(x_1,x_2,...)=(x_2,x_3,...)$$ ist linear ,surjektiv aber nicht injektiv.

d) Wahr. Wir müssen zeigen dass v_1,...,v_n Basis bilden.
Nach Voraussetzung bilden v_1,...,v_n ein Erzeugendensystem für V.
Nach Basisauswahlsatz gibt es eine Teilmenge von {v_1,...,v_n} die eine Basis ist. Diese Teilmenge muss aber n=dimV viele Vektoren haben, (da alle Basen gleiche Anzahl an Vektoren haben). Und das sind schon alle.

Comments

Super vielen dank. Aber eine Nachfrage hab ich noch in meiner Zusammenfassung steht doch aber das injektiv<-> surjektiv <-> bijektiv ist.

Geht um c)

Daher hab ich das als richtig angenommen. Wie bist du da jetzt genau drauf gekommen, dass das falsch ist?

---

"injektiv<-> surjektiv <-> bijektiv" gilt nur wenn V endlich dimensional ist (siehe Voraussetzung des Korollars).
In c) ist dies aber nicht gegeben.

---

Ah okay. Wie kann ich sowas erkennen das diese endlich dimensional bzw. unendlich ist?

Etwa weil in der Aufgabe steht f: V->V und somit für eine wahre Aussage diese spezifischer definiert sein müsste?

---

Genau!:)
Wäre die Voraussetzung wie in b) dann wäre es richtig.

"Wie kann ich sowas erkennen das diese endlich dimensional bzw. unendlich ist?"
Würde vlt Beispiele anschauen um das Gefühl zu bekommen, z.B. Folgenräume, Raum der stetigen Funktionen auf dem abgeschlosenen Intervall. Oder vlt. das unendliche kartesische Produkt  \(V\times V\times V\times....\)  ist unendlich dimensional. Also man bekommt schon das Gefühl, sobald man anfängt nach einer Basis zu suchen:)

Viel Erfolg!^^

---

Super vielen dank!! Wünsche dir einen guten Start in die Woche.