Question

Untersuchen Sie folgende Funktion f : [0; 2] → ℝ auf Stetigkeit:

f(x) = {     x²             : 0 ≤ x < 1

           \( \sqrt{x-1} \) + 2 : 1 ≤ x ≤ 2

Begründen Sie, dass die Funktion eine Umkehrfunktion f^-1 : f([0,2]) → [0,2] besitzt. Geben Sie diese an. Ist f^-1 stetig?

Mein Ansatz:

Macht man das überhaupt so und mit der Umkehrfunktion bin ich mir unsicher, wie soll man das denn begründen? Muss bei der Umkehrfunktion eventuell auch das Intervall vertauscht werden? Freue mich über eure Hilfe!^^

Answer 1

Du hast die Umkehrfunktion angegeben, aber nicht begründet, dass sie es eigentlich ist, d.h. zeige dazu \(f \circ f^{-1}(x)=x \) und \( f^{-1} \circ f(x)=x \) für entsprechende x.

f nicht stetig, ist richtig.

\( f([0,2])=f_{1}([0,1)) \cup f_2([1,2)) = [0,2)\cup [2,3]\)

Siehe:

https://www.desmos.com/calculator/xfpgjgeh03

D.h. auf [0,2) bzw. [2,3] definierst du die Umkehrfunktion von f_1 bzw. f_2 und zeigst dann, dass die zusammengesetzte die Umkehrfunktion von f ist wie oben (Fallunterscheidung für x).

Viel Erfolg!