Prüfung auf Stetigkeit mit "h-Methode"

Question

Hallo Mathefreunde,

ich habe mir die Definition von Stetigkeit bzw. die Überprüfungsmethoden auf

https://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit

angesehen.

Nur um sicher zu gehen:

Ist es formal korrekt, die Überprüfung auf stetige Fortsetzungmöglichkeit zum Beispiel der Funktion

f(x) = (x^3 - 1)/(x - 1)

folgendermaßen durchzuführen?

Näherung an x = 1 von links:

[(1 - h)^3 - 1]/(1 - h - 1) = ...

h^2 - 3h + 3 -> 3 für h -> 0

Näherung an x = 1 von rechts:

[(1 + h)^3 - 1]/(1 + h - 1) = ...

h^2 + 3h + 3 -> 3 für h -> 0

Also ist f(x) an x = 1 stetig fortsetzbar mit

f(1) = 3

- und frohe Weihnachten :-)

Andreas

Answer 1

Hi Andreas,

das ist eine legitime Vorgehensweise, da du ja im Grunde den links- und rechtsseitigen Grenzwert der Funktion bei einer Definitionslücke untersuchst, die ein Häufungspunkt der Definitionsmenge der Funktion ist. Die Definitionsmenge ist eine Teilmenge der reellen Zahlen und somit lässt sich eine stetige Ergänzung durch Übereinstimmung dieser beiden Grenzwerte durchführen.

Ich würde vielleicht höchstens die zusätzliche Info \( h \geq 0 \) ergänzen (ist im Grunde schon durch die Benutzung der Begriffe links und rechts und dem jeweiligen Vorzeichen von \(h\) klar) und die fehlende Klammer einfügen bei deiner Betrachtung von rechts.

Andererseits ist es in diesem Fall auch schnell durch Polynomdivision möglich zu erkennen, dass die Definitionslücke behebbar ist (ich geh aber davon aus, dass du das schon wusstest und extra ein solches Beispiel gewählt hast).

Dir auch frohe Weihnachten und schöne Feiertage.

Gruß

Comments

@ Yakyu:


Vielen herzlichen Dank für Deine Antwort - hat mir sehr geholfen!
An eine Polynomdivision hatte ich offen gestanden nicht gedacht, dies war ein weiterer Denkanstoß von Dir :-)

Ein schönes "Restweihnachten" für Dich und Deine Lieben

Andreas