Beweisen Sie, dass es Endomorphisen f, g : V → V ...

Question

Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und U ⊂ V ein

Untervektorraum. Beweisen Sie, dass es Endomorphisen f, g : V → V gibt

mit U = Ker(f) und U = Im(g).

Wie soll ich das machen? Mit dem Basisergänzungssatz oder... ?

Answer 1

Basisergänzungssatz ist eine gute Idee:
sei v1,...vk Basis von U. ergänze mit v_k+1 bis vn zu Basis von V.

sei v aus V, dann ist v eindeutig durch diese Basis darstellbar.
v = x1*v1+...xn*vn

Für f definiere f(v) = x_k+1*v_k+...x_n*v_n  
und für  g(v) = v-f(v)

musst natürlich noch zeigen, dass alles stimmt und es auch wirklich Endom. sind.