Normalverteilung (Durchnittswert, Standardabweichung)

Question

Aufgabe:

In einer Fabrik werden Konservendosen abgefüllt, deren Nettofüllgewicht als normalverteilt angesehen werden kann. Das durchschnittliche Nettofüllgewicht der Dosen beträgt 249,2 Gramm, die Standardabweichung 11,37 Gramm. Das Schild der Dosen gibt ein Nettofüllgewicht von 240 Gramm an. Berechnen Sie den Anteil der Dosen, die untergewichtig sind.

Problem/Ansatz:

Ich komme überhaupt nicht weiter bei der Aufgabe, mir fehlt auch der Ansatz. Kann mir da jemand vielleicht weiterhelfen?

Answer 1

gegeben sind \(\textrm{E}[X]=249.2,\,\textrm{sd}[X]=11.37\).

Es gilt: \(P(X \leq x)=\Phi\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma} \right)\), wobei nun \(P(X < 240)\) gesucht ist.

Somit ergibt sich eine WSK von \(\Phi\left(\dfrac{240-249.2}{11.37} \right)\approx \Phi(-0.80915)=1-\Phi(0.80915) \approx 20.92\%\), dass eine Dose unterbefüllt ist.

Oder alternativ mit \(\dfrac{1}{11.37\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{240}e^{-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{t-249.2}{11.37} \right)^2}\, dt \approx 20.92\%\).