wie hoch ist die Standardabweichung?(Erwartungswert und Perzentile gegeben, Normalverteilung)

Question

X= Tage, an denen es regnet

Erwartungswert = 150 Tage

in 48% der letzten Jahren gab es mehr als 170 T., wo es geregnet hat

das heißt P(X größer als 170) = 0.48 (denke ich)

wie hoch ist die Standardabweichung?

- Normalverteilung

ich habe gar keinen Ansatz, würde mich über eine Lösung sehr freuen

Answer 1

Aloha :)

Gegeben ist uns:$$\mu=150\quad;\quad\sigma=\;?\quad;\quad P(X>170)=0,48$$Die Verteilung muss sehr breit sein. Eine Standardabweichung geht vom Maximum der Gaußglocke bis zum Wendepunkt. Da wird etwas sehr Unrealistisches rauskommen.

Wir normalisieren das Gegenereignis:$$0,52=P(X\le 170)=\phi\left(\frac{170-\mu}{\sigma}\right)\implies\phi^{-1}(0,52)=\frac{170-\mu}{\sigma}\implies$$$$0,050153583=\frac{170-150}{\sigma}\implies\sigma=\frac{20}{0,050153583}\approx398,78\approx399$$

Eine Standardabweichung von \(\sigma=399\) ist, wie erwartet, unrealistisch. Aber das ist das Ergebnis, was hier rauskommt. Zur Probe.

$$P(X>170)=1-P(X<170)=1-\phi\left(\frac{170-150}{399}\right)=1-\phi(0,0501)$$$$\phantom{P(X>170)}=1-0,51999\approx0,48$$