e^arcsin(x) Partielle Integration

Question

Mein Problem ist, dass ich die Substitution dieser Gleichung, welche vor der zweifachen Partiellen Integration statt findet,

nicht verstehe, ebenso die Rücksubstitution. Bitte um Hilfe

Comments

Gibt es ein Bild dazu?

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Wie wurde denn substituiert ?

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Ich habe diese Website zur Berechnung genutzt  https://www.integralrechner.de/

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Du substituierst \(u=\arcsin x\) und \(du=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx\), weil \(\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x +C\). Es ergibt sich \(\displaystyle\int e^u \cos(u) \, du \).

Answer 1

Die Substitution ist ja im Kommentar erklärt. Dann:

$$\displaystyle\int e^u \cos(u) \, du  =\frac{e^u \cos(u)}{2}+\frac{e^u \sin(u)}{2} $$

und beim Rücksubstituieren musst du wieder u durch arcsin(x) ersetzen

$$=\frac{e^{arcsin(x)} \cos(arcsin(x))}{2}+\frac{e^{arcsin(x)} \sin(arcsin(x))}{2} $$

Dann e^(arcsin(x)) ausklammern

$$=e^{arcsin(x)}(\frac{ \cos(arcsin(x))}{2}+\frac{ \sin(arcsin(x))}{2} )$$

$$=e^{arcsin(x)}(\frac{ \cos(arcsin(x))}{2}+\frac{x}{2} )$$

Und wegen der bekannten Formel sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1

kannst du einsetzen

$$=e^{arcsin(x)}(\frac{ \sqrt(1 - sin(arcsin(x))^2)}{2}+\frac{x}{2} )$$

$$=e^{arcsin(x)}(\frac{ \sqrt(1 - x^2)}{2}+\frac{x}{2} )$$

Comments

Lässt sich diese Funktion auch ohne Substitution und nur durch partielle Integration lösen? Wenn ja, wie würde man dann am besten vorgehen?

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Ansatz mit dem gleichen Trick wie man etwa den Log. integriert:

$$\int_{}^{}1 * e^ {arcsin(x)}  dx$$

und die 1 integrieren und den anderen Faktor ableiten gibt

$$= x* e^ {arcsin(x)} -   \int_{}^{}x *\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}* e^ {arcsin(x)}  dx  $$

$$= x* e^ {arcsin(x)} -   \int_{}^{}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}* e^ {arcsin(x)}  dx  $$

und dann das 2. Integral nochmal partiell gibt

$$= x* e^ {arcsin(x)} - ( -\sqrt{1-x^2}*e^ {arcsin(x)}  -  \int_{}^{}-\sqrt{1-x^2} *\frac{e^ {arcsin(x)} }{\sqrt{1-x^2}}*  dx ) $$

$$= x* e^ {arcsin(x)} +\sqrt{1-x^2}*e^ {arcsin(x)}  +  \int_{}^{}-e^ {arcsin(x)} dx  $$

$$= x* e^ {arcsin(x)} +\sqrt{1-x^2}*e^ {arcsin(x)}  -  \int_{}^{} e^ {arcsin(x)} dx  $$

Wenn du jetzt das ganze nochmal von vorne liest, hast du die Gleichung

$$\int_{}^{} e^ {arcsin(x)}  dx= x* e^ {arcsin(x)} +\sqrt{1-x^2}*e^ {arcsin(x)}  -  \int_{}^{} e^ {arcsin(x)} dx  $$

und bringst dann dass rechte Integral rüber und hast

$$2*\int_{}^{} e^ {arcsin(x)}  dx= x* e^ {arcsin(x)} +\sqrt{1-x^2}*e^ {arcsin(x)}  $$

Jetzt noch durch 2 teilen: Fertig!

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Und danach?

Was sollte man in dem "neuen" Integral ableiten und was integrieren, wenn man das zweite mal partiell integrieren möchte?

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Ich habe es ergänzt.

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Vielen herzlichen Dank!

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Danke für die super Antwort mathef!

Aber leider ist mir noch nicht ganz ersichtlich, wie man folgendes

\( \int\)\( \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \)

zu

-\( \sqrt{1-x^2} \)

integriert.

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Substitution: z = 1-x^2   ==>   dz/dx = -2x ==>   dz = -2x dx

also

\( \int\)\( \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \) dx

= \( \int\)\( \frac{1}{\sqrt{z}} \) xdx

=-0,5 \( \int\)\( \frac{1}{\sqrt{z}} \) -2xdx

=-0,5 \( \int\)\( \frac{1}{\sqrt{z}} \) dz

=-0,5 \( \int z^{-0,5} \) dz

= \(-z^{0,5} \)  und Subst. rückwärts

= -\( \sqrt{1-x^2} \)