Antwort mit KI erzeugt
Bestimmung für X
Bild von X, Im(X):
Das Bild von \(X\) ist die Menge aller möglichen Werte, die \(X(r)\) annehmen kann. Für \(r = 0\), \(X(r) = 0\). Für alle anderen Werte von \(r\) im Intervall \( (0, 1] \), nimmt \(X(r)\) die Form von \( \left\lfloor\frac{1}{r}\right\rfloor \) an. Dies bedeutet, dass, wenn \(r\) nahe 1 ist, \( \left\lfloor\frac{1}{r}\right\rfloor = 1 \). Wenn \(r\) nahe 0,5 ist, wird \( \left\lfloor\frac{1}{r}\right\rfloor = 2 \) und so weiter, was darauf hinweist, dass die möglichen Werte ganze Zahlen sind, die mit 1 beginnen und theoretisch bis unendlich gehen. Somit ist \( Im(X) = \{0, 1, 2, 3, ...\} \).
Verteilung von X, PrX:
Da \(X\) auf dem Intervall \([0, 1]\) mit Gleichverteilung definiert ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass \(X\) einen bestimmten Wert annimmt, gleich dem Maß des Intervalls, das auf \(\left\lfloor\frac{1}{r}\right\rfloor\) abgebildet wird. Für \(X = 0\), das nur bei \(r=0\) eintritt, ist die Wahrscheinlichkeit \(0\), da \([0]\) eine Nullmenge ist.
Für \(X = 1\), entspricht das dem Intervall von \(0,5\) bis \(1\) (\(r\) so, dass \(\frac{1}{r} \geq 1\) und \(< 2\)), was eine Wahrscheinlichkeit von \(0,5\) hat.
Für \(X = 2\), entspricht das dem Intervall von \(\frac{1}{3}\) bis \(\frac{1}{2}\), und so weiter. Die Wahrscheinlichkeit, dass \(X\) den Wert \(n\) annimmt, ist das Maß des Intervalls \(\frac{1}{n+1}\) bis \(\frac{1}{n}\), also \(Pr(X=n) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\).
Verteilungsfunktion von X, \(F_X\):
Die Verteilungsfunktion \(F_X(x)\) ist definiert als die Wahrscheinlichkeit, dass \(X\) einen Wert kleiner oder gleich \(x\) annimmt, \(F_X(x) = Pr(X \leq x)\). Aufgrund der diskreten Natur von \(X\) ist diese Funktion eine Treppenfunktion, die bei jedem Wert von \(X = n\) um \(Pr(X = n)\) zunimmt.
Bestimmung für Y
Verteilungsfunktion von Y, \(F_Y\):
Für \(Y(r)=0\) wenn \(r=0\), sonst \(Y(r) = \frac{1}{r}\). Hier ist \(Y\) eine stetige Zufallsvariable. Die Verteilungsfunktion \(F_Y(y)\) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass \(Y \leq y\).
Für \(y < 1\), \(F_Y(y) = 0\), da keine Werte von \(r\) existieren, sodass \(\frac{1}{r} \leq y < 1\).
Für \(y \geq 1\), \(F_Y(y) = Pr\left(Y \leq y\right) = Pr\left(\frac{1}{r} \leq y\right) = Pr\left(r \geq \frac{1}{y}\right)\). Da \(r\) im Intervall \([0,1]\) liegt, ist dies gleich \(1 - \frac{1}{y}\), da die Gleichverteilung impliziert, dass Intervalle direkt ihrer Länge entsprechen.
Somit ist \(F_Y(y) = \left\{
\begin{array}{ll}
0 & \text{für } y < 1 \\
1 - \frac{1}{y} & \text{für } y \geq 1
\end{array}
\right.\)
Dichtefunktion von Y, \(f_Y\):
Die Dichtefunktion \(f_Y(y)\) ist die Ableitung der Verteilungsfunktion \(F_Y(y)\) nach \(y\). Daher erhalten wir:
\(f_Y(y) = \frac{d}{dy}(1 - \frac{1}{y})\) für \(y \geq 1\).
Das ergibt:
\(f_Y(y) = \frac{1}{y^2}\) für \(y \geq 1\).
Zusammengefasst:
\(f_Y(y) = \left\{
\begin{array}{ll}
0 & \text{für } y < 1 \\
\frac{1}{y^2} & \text{für } y \geq 1
\end{array}
\right.\)
Das vervollständigt die Analyse sowohl für die diskrete Variable \(X\) als auch für die stetige Variable \(Y\).
