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Stetige Zufallsvariable
Um die gegebenen Aufgaben zu bearbeiten, fangen wir zunächst mit der Skizzierung des Rechtecks \( [0, 2] \times [0, 1] \) und des Manhattan-Abstandes \( X(P) = a + b \) an. Der Manhattan-Abstand zwischen einem Punkt \( P(a, b) \) und dem Ursprung (0,0) ist die Summe seiner Koordinaten.
a) Bestimmen der Verteilungsfunktion \( F_X(0.5), F_X(1.5), \) und \( F_X(2.5) \)
Die Verteilungsfunktion \( F_X(x) \) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable \( X \) einen Wert kleiner oder gleich \( x \) annimmt. Da \( X \) der Manhattan-Abstand ist, müssen wir die Bereiche im Rechteck betrachten, deren Punkte einen Manhattan-Abstand von maximal \( x \) zum Ursprung haben.
1.
\( F_X(0.5) \):
Da der minimale Manhattan-Abstand 0 und der maximale 3 (entlang der Ecke \( (2,1) \)) ist, befindet sich bei \( x = 0.5 \) ein kleines Dreieck links unten im Rechteck, das in Frage kommt. Das Rechteck ist noch nicht betroffen, weil beide Werte \( a \) und \( b \) so klein sein müssen, dass ihre Summe nicht größer als 0.5 ist. Daraus ergibt sich praktisch eine Fläche von Null, weil innerhalb des betrachteten Wahrscheinlichkeitsraums keine Punkte eine Summe bis zu 0.5 ergeben, ohne dass \( a \) oder \( b \) negativ wären, was außerhalb unserer Definitionsmenge liegt.
2.
\( F_X(1.5) \):
Bei \( x = 1.5 \), sieht die Situation anders aus. Die Punkte, deren Summe der Koordinaten \( \leq 1.5 \) ist, bilden ein Dreieck im Rechteck. Die Basis und die Höhe dieses Dreiecks entsprechen der Bedingung \( a + b \leq 1.5 \), wobei die maximale Länge der Basis 1.5 (innerhalb des Bereichs von \( a \)) und die maximale Höhe ebenfalls 1 beträgt, begrenzt durch den Schnittpunkt der Linie \( a + b = 1.5 \) mit den Rändern des Rechtecks. Die Fläche dieses Dreiecks ist \( A = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1.5 = 0.75 \). Die gesamte Fläche des definierten Wahrscheinlichkeitsraums ist \( 2 \cdot 1 = 2 \). Also ist \( F_X(1.5) = \frac{0.75}{2} = 0.375 \).
3.
\( F_X(2.5) \):
Für \( x = 2.5 \) decken wir fast das gesamte Rechteck ab, da die Linie \( a + b = 2.5 \) nur einen kleinen Teil oben rechts im Rechteck ausschließt. Jedoch ist der maximale Manhattan-Abstand im Rechteck 3, daher entspricht \( F_X(2.5) \) beinahe 1, aber nicht ganz, da ein kleines Dreieck von der Betrachtung ausgeschlossen bleibt.
b) Allgemeine Beschreibung der Verteilungsfunktion \( F_X \) und Dichtefunktion \( f_X \)
Um \( F_X \) allgemein zu beschreiben, bemerken wir, dass \( F_X(x) \) in drei Stufen steigt:
- Für \( 0 \leq x < 1 \): Das Wachstum von \( F_X \) erfolgt linear, da die Fläche eines Dreiecks ansteigt, dessen Hypotenuse die Linie \( a + b = x \) ist. Die entsprechende Dichtefunktion \( f_X \) in diesem Bereich wäre die Ableitung von \( F_X \), was einer konstanten Rate entspricht.
- Für \( 1 \leq x < 2 \): Da Teile des Rechtecks außerhalb des Bereichs fallen, ändert sich die Wachstumsrate von \( F_X \). Hier nimmt \( F_X \) schneller zu als im ersten Teil, weil zusätzlich zur Dreiecksfläche eine Rechtecksfläche hinzukommt.
- Für \( 2 \leq x \leq 3 \): \( F_X(x) \) nähert sich 1 an, da die maximale Summe von \( a + b \) im Rechteck 3 beträgt, allerdings mit unterschiedlichen Flächenzunahmen abhängig vom Wert \( x \).
Die Dichtefunktion \( f_X \), als die Ableitung von \( F_X \), würde innerhalb dieser Bereiche unterschiedliche Funktionen haben, basierend auf der Beschreibung der Zunahme von \( F_X \).
c) Erwartungswert \( E(X) \) und Varianz \( Var(X) \)
1.
Erwartungswert \( E(X) \):
Um den Erwartungswert zu bestimmen, integrieren wir \( x \cdot f_X(x) \) über alle \( x \):
\( E(X) = \int x f_X(x) dx \)
Da wir die explizite Form der Dichtefunktion \( f_X \) hier nicht berechnet haben, können wir alternativ die bekannten Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsraumes und der gleichmäßigen Verteilung verwenden. Für ein Rechteck mit Seitenlängen \( L \) und \( W \) und der Gleichverteilung ist der Erwartungswert für die Summe der Koordinaten \( E(a+b) = E(a) + E(b) \), was der Summe der mittleren Werte jeder Seite entspricht:
\( E(X) = E(a) + E(b) = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = 1.5 \)
2.
Varianz \( Var(X) \):
Die Varianz wird typischerweise mit \( Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \) berechnet. Ohne die spezifische Dichtefunktion ist die direkte Berechnung von \( E(X^2) \) komplex. Unter der Annahme der Unabhängigkeit von \( a \) und \( b \) und einer Gleichverteilung ist die Varianz einer gleichverteilten Variablen auf \( [0, L] \) durch \( \frac{L^2}{12} \) gegeben. Für zwei unabhängige Variablen \( a \), \( b \) mit den Längen 2 bzw. 1 ergibt sich:
\( Var(X) = Var(a) + Var(b) = \frac{2^2}{12} + \frac{1^2}{12} = \frac{1}{3} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} + \frac{1}{12} = \frac{5}{12} \)
Somit ist der Erwartungswert \( E(X) = 1.5 \) und die Varianz \( Var(X) = \frac{5}{12} \).
