Zufallsvariable: X (unvollständig) angegeben: Suche Wahrscheinlichkeitsverteilung: E(X)=2

Question

Die Firma Hirscher & Söhne stellt Spezialbetonfertigteile her.

Die Tabelle gibt die Anzahl X der täglich verkauften Bauteile und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten (unvollständig) an.

Geben Sie die passende Wahrscheinlichkeitsverteilung an, sodass E(X) = 2 ist.

 

Anzahl xi	0	1	2	3	4
P(X = xi)	10%	20%	45%	???	???

Answer 1

Es gilt, die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist Eins: $$ \sum_{i=0}^4P(X=x_i)=1 $$

Definition vom Erwartungswert:
$$E(X)=\sum_{i=0}^4P(X=x_i) \cdot x_i=0 \cdot 0,1+1 \cdot 0,2+2 \cdot 0,45+3P(X=x_3)+4P(X=x_4)=1,1+3P(X=x_3)+4P(X=x_4) $$

Demnach ist $$P(X=x_3)+P(X=x_4)=1-(0,1+0,2+0,45)=0,25$$ und $$2=1,1+3P(X=x_3)+4P(X=x_4) $$

Jetzt das lineare Gleichungssystem lösen. Das spar ich mir mal.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve+a%2Bb%3D0.25%2C3a%2B4b%3D0.9

Lösung $$P(X=x_3)=0,1 \textbf{ und } P(X=x_4)=0,15$$

Comments

Danke :-) Ich versteh es zwar nicht, aber trotzdem danke! :-)

Answer 2

Ich nenne die gesuchten Wahrscheinlichkeiten a und b.

P(X=3) + P(X=4) = a + b = 1 - 0.1- 0.2 -0.45 = 0.25

-----> b = 0.25-a

Erwartungswert:

E(X) = 2 = 0.1*0 + 0.2*1 + 0.45*2 + a*3 + b*4

b einsetzen.

 2 = 0.1*0 + 0.2*1 + 0.45*2 + a*3 + (0.25-a)*4

 2 =  0.2 + 0.9 + 3a + 1 -4a

2 =  2.1  - a

a= 0.1,                  Also 10% bei P(X=3)

b= 0.25-a = 0.15        Somit 15% bei P(X=4)