Logik; Schluss/Herleitung

Question

Kann mir jemand den Herleitungsoperator \( \vdash \) erklären?

Ich muss diverse Aufgaben auf Basis dieses Operators lösen.

Die erste dazu wäre, ob der logische Schluss \( \bar{P} \rightarrow Q, P \vdash \bar{Q} \) korrekt sei.

Da ich den Operator aber nicht gänzlich begreife und damit auch nicht den Zusammenhang, den diese beiden Aussagen haben sollen, ist die Aufgabe nicht zu lösen. Genau wie die weiteren 5 darauf folgenden.

Optimal wäre also, wenn mir jemand anhand dieser ersten Aufgabe das Prinzip rüber bringen könnte.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Erklärung des Herleitungsoperators \(\vdash\)

Der Herleitungsoperator \( \vdash \) wird in der Logik verwendet, um eine formale Beziehung zwischen einem Satz von Prämissen und einer Konklusion auszudrücken. Wenn wir \( A_1, A_2, ..., A_n \vdash B \) schreiben, bedeutet dies, dass B logisch aus den Aussagen \(A_1, A_2, ..., A_n\) gefolgert oder hergeleitet werden kann. Das heißt, wenn alle \(A_i\) wahr sind, dann muss aufgrund der Regeln der Logik auch B wahr sein.

Besprechung des Beispiels \(\bar{P} \rightarrow Q, P \vdash \bar{Q}\)

Lassen Sie uns nun anhand des Beispiels \( \bar{P} \rightarrow Q, P \vdash \bar{Q} \) den Herleitungsoperator untersuchen und bestimmen, ob der logische Schluss korrekt ist.

Gegeben sind die beiden Prämissen:

1. \( \bar{P} \rightarrow Q \) (wenn nicht P, dann Q)
2. \( P \) (P ist wahr)

Gefragt ist, ob daraus \( \bar{Q} \) (nicht Q) logisch gefolgert werden kann.

Um dies zu überprüfen, betrachten wir, was die Prämissen bedeuten und welche logischen Folgerungen wir daraus ziehen können.

1. Die erste Prämisse \( \bar{P} \rightarrow Q \) besagt, dass, sollte \( P \) falsch sein, \( Q \) wahr sein muss. Allerdings sagt diese Aussage nichts direkt aus für den Fall, dass \( P \) wahr ist, was durch die zweite Prämisse gegeben ist.

2. Die zweite Prämisse \( P \) legt fest, dass \( P \) wahr ist.

Nun zum Schluss \( \bar{Q} \):

- Ausgehend von \( P \) kann ohne weitere Information über \( Q \) nicht direkt gefolgert werden, dass \( \bar{Q} \) wahr ist. Die erste Prämisse ist nur dann anwendbar, wenn \( P \) falsch wäre, aber wir wissen, dass \( P \) wahr ist.

Also, anhand der gegebenen Prämissen \( \bar{P} \rightarrow Q \) und \( P \) lässt sich nicht direkt ableiten, dass \( \bar{Q} \) wahr sein muss. Es besteht keine direkte logische Verbindung oder Herleitung, die von \( P \) auf \( \bar{Q} \) führt, nur basierend auf den gegebenen Prämissen.

Fazit:

Der Versuch, \( \bar{Q} \) direkt aus \( \bar{P} \rightarrow Q \) und \( P \) herzuleiten, ist somit nicht korrekt. Im logischen Sinn bedeutet dies, dass \( \bar{P} \rightarrow Q, P \vdash \bar{Q} \) falsch ist, da die angegebenen Prämissen nicht ausreichend sind, um die Konklusion \( \bar{Q} \) notwendigerweise wahr zu machen.