Welche arithmetischen Mittel wurden hier angewandt?

Question

Aufgabe:

$$ \begin{aligned} T ( n ) = & c _ { 1 } n + c _ { 2 } ( n - 1 ) + c _ { 3 } ( n - 1 ) + c _ { 4 } \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } t _ { j } + c _ { 5 } \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \left( t _ { j } - 1 \right) \\ & + c _ { 6 } \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \left( t _ { j } - 1 \right) + c _ { 7 } ( n - 1 ) \\ = & \left( c _ { 1 } + c _ { 2 } + c _ { 3 } + c _ { 7 } \right) n + \left( c _ { 4 } + c _ { 5 } + c _ { 6 } \right) \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } t _ { j } - \left( c _ { 2 } + c _ { 3 } + c _ { 5 } + c _ { 6 } + c _ { 7 } \right) \end{aligned} $$

Problem/Ansatz:

mit der Motivation, diese Arithmetik Umformungen endlich in den Griff zu bekommen, stelle ich die Frage, welche Rechenregeln hier angewandt wurden? Wohin sind bspw. die "-1" verschwunden? Ich hoffe die Lösung hilft auch anderen Mathe-Lernenden weiter.

Answer 1

\(\begin{aligned} & c _ { 1 } n + c _ { 2 } ( n - 1 ) + c _ { 3 } ( n - 1 ) + c _ { 7 } ( n - 1 ) \\= & c _ { 1 } n + c _ { 2 } n + c_2\cdot(-1) + c_3 n + c_3\cdot(-1) + c_7 n + c_7 + \cdot(-1)\\= & c _ { 1 } n + c _ { 2 } n + c_3\cdot n + c_7 n + c_2\cdot(-1) + c_3\cdot(-1) + c_7 + \cdot(-1)\\= & (c_1+c_2+c_3+c_7) n + (c_2+c_3+c_7)\cdot (-1) = \\= & (c_1+c_2+c_3+c_7)n - (c_2+c_3+c_7)\end{aligned}\)

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Vielen Dank!

Answer 2

$$ \begin{aligned} T ( n ) = & c _ { 1 } n + c _ { 2 } ( n - 1 ) + c _ { 3 } ( n - 1 ) + c _ { 4 } \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } t _ { j } + c _ { 5 } \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \left( t _ { j } - 1 \right) \\ & + c _ { 6 } \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \left( t _ { j } - 1 \right) + c _ { 7 } ( n - 1 ) \\\end{aligned}  $$
$$ \begin{aligned} T ( n ) = & c _ { 1 } n + c _ { 2 } n - c _ { 2 } + c _ { 3} n - c _ { 3 } + c _ { 4 } \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } t _ { j } + c _ { 5 } \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \left( t _ { j } - 1 \right) \\ & + c _ { 6 } \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \left( t _ { j } - 1 \right) + c _ { 7 } ( n - 1 ) \\\end{aligned}  $$

Und sowas wie $$c _ { 5 } \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \left( t _ { j } - 1 \right) $$

kannst du in 2 Summen aufteilen

$$c _ { 5 } \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \left( t _ { j } - 1 \right) = c _ { 5 } \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } t _ { j }  - c _ { 5 } \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } 1 $$

Und ne Summe aus n-1 Stück lauter 1en hat den Wert n-1, also

$$= c _ { 5 } \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } t _ { j }  - c _ { 5 } *(n-1) =c _ { 5 } \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } t _ { j }  - c _ { 5 }n-c _ { 5 }$$

Damit hast du für den ganzen Term

$$ \begin{aligned} T ( n ) = & c _ { 1 } n + c _ { 2 } n - c _ { 2 } + c _ { 3} n - c _ { 3 } + c _ { 4 } \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } t _ { j } +c _ { 5 } \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } t _ { j }  - c _ { 5 }n-c _ { 5 } \\ & + c _ { 6 } \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } t _ { j }  - c _ { 6 }n-c _ { 6 } + c _ { 7 }n -  c _ { 7 } \\\end{aligned}  $$

Und jetzt noch was umsortieren und ausklammern:

$$ \begin{aligned}= & \left( c _ { 1 } + c _ { 2 } + c _ { 3 } + c _ { 7 } \right) n + \left( c _ { 4 } + c _ { 5 } + c _ { 6 } \right) \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } t _ { j } - \left( c _ { 2 } + c _ { 3 } + c _ { 5 } + c _ { 6 } + c _ { 7 } \right) \end{aligned} $$

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