Potenzreihenentwickelung

Question

Aufgabe:

Entwickeln von \( \sqrt{1-x} \) an der Stelle x₀=0 in eine Potenzreihe. (Mit Taylor’schen Reihe)

Problem/Ansatz:

Ich habe als aller erstens die erste 4. Ableitungen gemacht und dann anschließend die x₀=0 eingesetzt.

Dann habe ich die errechnete Werte in die Taylorentwicklung eingesetzt und erhalte:

\( \sqrt{1-x} \) = 1 - \( \frac{1/2}{1!} \) *x - \( \frac{1/4}{2!} \) *x² - \( \frac{3/8}{3!} \) *x³ - ... -________ *xⁿ - ...

Mir fehlt jetzt die n-te Ableitung. Wie mache ich das jetzt, damit ich eine richtige vorgehensweise für die Zukünftigen Aufgaben habe?

Ich weiß nur \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{( \frac{f(n)(x₀)}{n!} ) *(x-x₀)n} \)    anwenden muss.

Answer 1

f(x) = √(1 - x) = (1 - x)^(1/2)

f'(x) = -1/2 * (1 - x)^(-1/2)

f''(x) = -1/4·(1 - x)^(-3/2)

Dei n. Ableitung sieht nicht ganz so schön aus:

f⁽ⁿ⁾(x) = -(n - 1.5)!/(2·√pi)·(1 - x)^(0.5 - n)

Answer 2

Vielleicht hilft das schon:

f ' (x) = -1 * (1/2) * (1-x)^(-1/2)

f ' ' (x) = -1 * (1/4) * (1-x)^(-3/2)

f ' ' ' (x) = -1 * (3/8) * (1-x)^(-5/2)=-1 * (1*3/8) * (1-x)^(-5/2)

f ⁽⁴⁾ (x) = -1 * (15/16) * (1-x)^(-7/2) = -1 * (1*3*5/16) * (1-x)^(-7/2)

f ⁽⁵⁾ (x) = -1 * (105/32) * (1-x)^(-9/2)= -1 * (1*3*5*7/32) * (1-x)^(-9/2)

f ⁽⁶⁾ (x) = -1 * (945/32) * (1-x)^(-11/2)= -1 * (1*3*5*7*9/32) * (1-x)^(-11/2)

also tippe ich mal :  für n>1

f ⁽ⁿ⁾ (x) = -1 * ((1*3*5*7...*(2n-3)/2^n) *  (1-x)^(0,5-2n)

und das Produkt aller ungeraden Zahlen von 1 bis 2n-3 ist

( 2n-3) !   durch  Produkt aller geraden Zahlen von 2 bis 2n-2

= ( 2n-3) !   durch  (   Produkt aller  Zahlen von 1 bis n-1 ) * 2^(n-1) )

= ( 2n-3) !   /   ( (n-1)! * 2^(n-1) ), also

f (n) (x) = -1 *  ( 2n-3)! /   ( (n-1)! * 2^(2n-1) )  *  (1-x)^(0,5-2n)