Ich versuche es mal (ohne Garantie):
Erst mal das 1/3 ausklammern gibt
(1/3 ) * ( 1 / (z-2) - 1 / ( z+1) )
= (1/3 ) * ( (-1/2) / (1 - (z/-2) ) - 1 / ( z+1) )
und der Vergleich mit der geometrischen Reihe mit Quotient q
für die gilt Summe k=0 bis ∞ über q = 1 / 1-q)
ergibt bei dir in der Klammer die Differenz zweier Reihen
$$ \frac { 1 }{ 3 }*(\frac { -1 }{ 2 }\sum_{n=0}^{\infty}{(\frac { z }{ -2 })^k}- \sum_{n=0}^{\infty}{z}^n) $$
$$ =\frac { 1 }{ 3 }*(\frac { -1 }{ 2 }\sum_{n=0}^{\infty}{(\frac { z }{ -2 })^k}- \sum_{n=0}^{\infty}{(-z)}^k) $$
$$ =\frac { 1 }{ 3 }*(\frac { -1 }{ 2 }\sum_{n=0}^{\infty}{(\frac { 1 }{ -2 })^k*z^k}- \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)}^k*z^k) $$
$$ =\frac { 1 }{ 3 }*(\sum_{n=0}^{\infty}{(\frac { 1 }{ -2 })^{k+1}*z^k}- \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)}^k*z^k) $$
$$ =\frac { 1 }{ 3 }*\sum_{n=0}^{\infty}{((\frac { 1 }{ -2 })^{k+1}-(-1)^k)*z^k} $$
