Taylorreihe von arctan um 1

Question

Wir sollen eine Taylorreihe des arctan(x) um x₀=1 entwickeln.

Könnte mir jemand dabei helfen bzw. erklären, wie es geht?

LG

Answer 1

berechne zuerst die Ableitungen:

$$f(1)=arctan(1)=\frac { \pi }{ 4 }\\f'(x)|_{x=1}=\frac { 1 }{ x^2+1 }|_{x=1}=\frac { 1 }{ 2 }\\f''(x)|_{x=1}=-\frac { 2x }{ (x^2+1)^2 }|_{x=1}=-\frac { 1 }{ 2 }\\f'''(x)|_{x=1}=\frac { 6x^2-2 }{ (x^2+1)^3 }|_{x=1}=\frac { 1 }{ 2 }\\{ f }^{ (4) }(x)|_{x=1}=-\frac { 24x^3-24x }{ (x^2+1)^4 }|_{x=1}=0\\\text{In die Taylorformel einsetzen:}\\arctan(x)=\frac { \pi }{ 4 }+\frac { 1 }{ 2 }(x-1)-\frac { 1 }{ 4 }(x-1)^2+\frac { 1 }{ 12 }(x-1)^3+O(x^5)\\\text{Falls du die komplette Reihenentwicklung brauchst, versuche eine allgemeine Form für}\\ \frac { d^n }{ dx^n }arctan(x)\text{ zu finden.} $$