Ich muss den folgenden Grenzwert mittels Potenzreihenentwicklung berechnen:
$$ \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { { e }^{ x }+{ e }^{ -x }-2 }{ x-\ln { (1+x } ) } } $$
Soweit ist das gar kein Problem, schwierig wird das nur wenn ich die Reihen vereinfache.
Folgende Reihen bekomme ich:
$$ \left( \frac { (1+x+\frac { { x }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { x }^{ 3 } }{ 3! } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 4! } +(...))+(1-x+\frac { { x }^{ 2 } }{ 2! } -\frac { { x }^{ 3 } }{ 3! } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 4! } -+(...))-2 }{ x-(x-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } +-(...)) } \right) $$
Nach einigen Schritten Kürzen bekomme ich folgendes Ergebnis:
$$ \left( \frac { (\frac { { x }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 4! } (...))+(\frac { { x }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 4! } (...)) }{ (\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } (...)) } \right) $$
Soweit so gut, nun fasse ich oben die Terme zusammen:
$$ \frac { { x }^{ 2 }+\frac { { x }^{ 4 } }{ 4! } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 4! } }{ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } } $$
Aber wie fahre ich jetzt weiter fort? ich hab mich da total festgefahren.
Die Lösung besagt:
$$ \frac { { x }^{ 2 }+{ x }^{ 4 }(...) }{ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -{ x }^{ 4 }(...) } $$
Aber ich komme nicht auf das ergebnis. Vielleicht übersehe ich ja etwas, aber wenn ich die beiden x4 Terme vom Zähler zusammenfasse, dann kommt doch das folgende raus:
$$ \frac { { 2x }^{ 4 } }{ 4! } $$
(ohje wenn das falsch ist dann ists echt peinlich) Ich verrenne mich bestimmt irgendwo und es ist vermutlich total banal eigentlich aber ich komme nicht weiter...
