Erklärung Beweis geometrisches Mittel <= arithmetisches Mittel

Question

Hallo liebe Mathe-Freunde,

ich hab die Aufgabe bekommen, die allgemeine Ungleichung vom arithmetisches und geometrischen Mittel vorzustellen. Dabei wurde das Thema vom Dozenten bereits ausgearbeitet und die Aufgabe besteht darin, das Thema zu verstehen und zu erklären. Aber gerade da liegt das Problem: Ich verstehe den Beweis nicht und benötige da eure Hilfe.

Deswegen folgend das "ausgearbeitete" Thema:

Allgemeine Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel: Für alle x₁...x_n>0 gilt: $$ \left(\prod_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{1 / n} \leq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} $$

Beweis: Der Beweis besteht aus zwei Schritten:

(a) Für alle x₁...x_n>0 gilt: $$ \prod_{i=1}^{n} x_{i}=1 \Rightarrow \sum_{i=1}^{n} x_{i} \geq n $$

Beweis durch Induktion nach n. Der Fall n=1 ist klar. Angenommen nun die Behauptung gilt für n Element N und es seien x₁...x_n+1 > 0 mit $$ \prod_{i=1}^{n+1} x_{i}=1 $$

Indem man ggf. umordnet, kann man x₁≤ x₂ ≤ ... ≤ x_n+1 annehmen. Dann folgt aber x_n+1 ≥ 1, denn wäre x_n+1 < 1, so wäre x_i < 1 für alle i = 1...n+1 und somit auch $$ \prod_{i=1}^{n+1} x_{i}<1 $$, im Widerspruch zur Voraussetzung. Analog folgt x₁ ≤ 1

Da nach Voraussetzung die Behauptung für n stimmt, folgt aus $$ \prod_{i=1}^{n+1} x_{i}=1 $$ zunächst $$ x_{1} x_{n+1}+x_{2}+\ldots x_{n} \geq n $$. Das liefert

$$ \sum_{i=1}^{n+1} x_{i} \geq n-x_{1} x_{n+1}+x_{1}+x_{n+1}=n+1+\left(1-x_{n+1}\right)\left(x_{1}-1\right) $$ 

Wegen x_n+1≥ 1 und x₁≤1 ist $$ \left(1-x_{n+1}\right)\left(x_{1}-1\right) \geq 0 $$ und es folgt $$ \sum_{i=1}^{n+1} x_{i} \geq n+1 $$

(b) Nun seien x₁...x_n>0 beliebig. Wir setzen $$ a :=\left(\prod_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{1 / n} $$. Dann ist $$ \prod_{i=1}^{n}\left(x_{i} / a\right)=1 $$ und somit folgt aus (a) $$ \sum_{i=1}^{n} x_{i} / a \geq n $$, also:

$$ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} \geq\left(\prod_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{1 / n} $$ $$ \square $$

Tut mir leid, dass das ein so lange Beitrag ist, aber ich denke, es ist sinnvoller, aufzuschreiben, was gegeben ist, da es ja verschiedenste Möglichkeiten gibt die Ungleichung zu beweisen.

Mein Verständnisproblem beginnt bereits bei (a) beim Umordnen und zieht sich dann bis zum Schluss durch.

Ich bin über jeden Hinweis und jede Erklärung sehr dankbar und danke euch jetzt schon, dass ihr euch die Zeit genommen habt, mein Problem durchzulesen.

Liebe Grüße und schönen Rest-Sonntag! 

Answer 1

Für Zahlen a,b aus dem Intervall (0, 1) gilt a·b < 1.

Für positive \(x_i\) gilt also

        \(\prod_{i=1}^{n+1}x_{i}=1\) ⇒ mindestens eines der \(x_i\) ist ≥ 1.

Die Umordnung darfst du wegen des Kommutativgesetzes der Multiplikation durchführen.

Sie stellt sicher, dass \(x_{n+1}\geq 1\) und \(x_1\leq 1\) ist. Wozu das benötigt wird, wird später klar.

\(\begin{aligned} &  & \prod_{i=1}^{n+1}x_{i} & =1\\ & \stackrel{\text{1.}}{\implies} & x_{1}\cdot x_{2}\cdot\dots\cdot x_{n}\cdot x_{n+1} & =1\\ & \stackrel{\text{2.}}{\implies} & x_{1}\cdot x_{n+1}\cdot x_{2}\cdot\dots\cdot x_{n} & =1\\ & \stackrel{\text{3.}}{\implies} & \left(x_{1}\cdot x_{n+1}\right)\cdot x_{2}\cdot\dots\cdot x_{n} & =1\\ & \stackrel{\text{4.}}{\implies} & \left(x_{1}\cdot x_{n+1}\right)+x_{2}+\dots+x_{n} & \geq n &  & |\,-\left(x_{1}\cdot x_{n+1}\right)\\ & \implies & x_{2}+\dots+x_{n} & \geq n-x_{1}\cdot x_{n+1} &  & |\,+x_{1}\\ & \implies & x_{1}+x_{2}+\dots+x_{n} & \geq n-x_{1}\cdot x_{n+1}+x_{1} &  & |\,+x_{n+1}\\ & \implies & x_{1}+x_{2}+\dots+x_{n}+x_{n+1} & \geq n-x_{1}\cdot x_{n+1}+x_{1}+x_{n+1}\\ & \stackrel{\text{5.}}{\implies} & \sum_{i=1}^{n+1}x_{i} & \geq n-x_{1}\cdot x_{n+1}+x_{1}+x_{n+1}\\ & \stackrel{\text{6.}}{\implies} & \sum_{i=1}^{n+1}x_{i} & \geq n+1+\left(1-x_{n+1}\right)\left(x_{1}-1\right)\\ & \stackrel{\text{7.}}{\implies} & \sum_{i=1}^{n+1}x_{i} & \geq n+1\end{aligned}\)

Bemerkungen dazu:

1. Die Definition des Produktzeichens wurde angewendet.
2. Kommutativgesetz der Multiplikation wurde angewendet.
3. Assoziativgesetz der Multiplikation wurde angewendet. Das Produkt besteht jetzt nur noch aus \(n\) Faktoren. Deshalb darf die Induktionsvoraussetzung angewendet werden.
4. Die Induktionsvoraussetzung wurde angewendet.
5. Die Definitions des Summenzeichen wurde angewendet.
6. Multipliziere die rechte Seite aus um zu prüfen dass die Termumformung tatsächlich korrekt ist.
7. Wegen \(x_{n+1} \geq 1\) ist \(1-x_{n+1} \leq 0\).
   Wegen \(x_1 \leq 1\) ist \(x_1 - 1 \leq 0\).
   In dem Ausdruch \(\left(1-x_{n+1}\right)\left(x_{1}-1\right)\) werden also zwei Zahlen multipliziert, die beide ≤ 0 sind. Das Ergbnis ist daher ≥ 0.