Kürzen mit Summenformel und Binomialkoeffizient

Question

Aufgabe:

a)  $$n - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { i - 1 } { i } = n - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( 1 - \frac { 1 } { i } \right) = n - \sum _ { i = 1 } ^ { n } 1 + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { i } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { i } $$

b)  $$ \frac { ( 3 n + 3 ) ! } { n ! \cdot ( 2 n ) ! \cdot \left( \begin{array} { c } { 3 n } \\ { n } \end{array} \right) } = \frac { ( 3 n + 3 ) ! } { n ! \cdot ( 2 n ) ! \cdot \frac { ( 3 n ) ! } { n ! \cdot ( 3 n - n ) ! } } = \frac { ( 3 n + 3 ) ! \cdot n ! \cdot ( 3 n - n ) ! } { n ! \cdot ( 2 n ) ! ( 3 n ) ! } = \frac { ( 3 n + 3 ) ! \cdot ( 2 n ) ! } { ( 2 n ) ! \cdot ( 3 n ) ! } =  \frac { ( 3 n + 3 ) ! } { ( 3 n ) ! } = ( 3 n + 3 ) \cdot ( 3 n + 2 ) ( 3 n + 1 ) = 27 n ^ { 3 } + 54 n ^ { 2 } + 33 n + 6 $$

Problem/Ansatz:

das hier sind zwei Lösungen für zwei Aufgaben, mit denen ich nicht einverstanden bin. Ich verstehe nicht woher bei a) das + beim auseinanderziehen kommt, sollte ja ein - sein.

bei b) müsste doch (3n + 3)! gekürzt werden woraufhin 3n * (3n + 1) * (3n + 2) übrig bleibt, oder irre ich mich?!?

Answer 1

Also der Grund, warum da plötzlich ein + steht, ist weil du löst das Minuszeichen aus.

Also zu der a)

n- \(\sum\limits_{i=1}^n (1−\frac{1}{i}) =n−(\sum\limits_{i=1}^n 1+\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i})=n - \sum\limits_{i=1}^n 1--\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i}) = n - \sum\limits_{i=1}^n 1+ \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i})\)

Zu der b)

$$ \frac{(3n+3)!}{3n!} = \frac{(3n+3) \cdot (3n+2) \cdot (3n+1) \cdot (3n) \cdot (3n-1) \cdot (3n-2) \cdot \dots \cdot 1}{(3n) \cdot (3n-1) \cdot (3n-2) \cdot \dots \cdot 1}$$

Aus diesem Grund erfallen alle Terme ab 3n im Zähler, da das 3n! entspricht:)

Hoffe,dass alles klar geworden ist:)