Trapez. Beweise bei Ähnlichkeiten

Question

Aufgabe:

Zeige AP = PQ = QB

Problem/Ansatz:

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Es sind jeweils nur zwei der Strecken zueinander parallel.

Answer 1

Üblicherweise markiert man mit der gleichen Anzahl von Strichen gleich lange Seiten.

Hat man ein paar gleich langer Seiten, werden beide mit je einem Strich markiert.

Hat man zwei weitere Seiten anderer (gleicher) Länge, markiert man beide mit zwei Strichen.

Hat man noch ein Paar gleich langer Strecken mit einer dritten Länge, bekommen beide Strecken drei Striche als Markierung usw.

Wenn du hier ein halbes Dutzend mal die selbe Markierung verwendest, ist die Aussagekraft äußerst gering.

Welche Eigenschaften besitzt die gegebene Figur?

Ich bin mir sicher, dass du (zusätzlich zur fehlenden Information über die Bedeutung deiner Markierungen) noch  eine sehr wesentliche Information unterschlagen hast.

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Die Striche bedeuten, dass die Seiten parallel sind

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Das war mir übrigens klar. Aber welche wichtige Information über das Trapez ABCD hast du unterschlagen?

Answer 2

S ist der Diagonalenschnittpunkt eines symmetrischen Trapezes. Sein Lot auf AB trifft dort auf die Seitenmitte. APSD und QBCS sind kongruent.Daher ist AP=QB. Der Strahlensatz einmal mit A als Zentrum und einmal mit B als Zentrum ermöglicht dann zu zeigen, dass AP=PQ.

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Diese Interpretation (symmetrisches Trapez)  trifft mit Sicherheit nicht zu.

Stell dir mal vor, ABCD wäre nahezu ein Rechteck. Die Länge von PQ würde gegen 0 gehen.

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Du hast recht. Es fehlt mindestens eine Zusatzinformation.

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Wenn da überall Parallelen sind und wir mal annehmen, die Behauptung wäre wahr, würde S die Diagonalen AC und BD jeweils im Verhältnis 2:1 teilen.

Damit müsste S Schnittpunkt der Seitenhalbierenden des Dreiecks ABQ sein, bei dem Q der Schnittpunkt der Geraden AD und BC ist.

DAFÜR müssten C und D die Mittelpunkte von QB bzw. QA sein.

DAS geht nur, wenn im Trapez die Bedingung AB=2*CD gilt.

@lukas.p : War das eventuell gegeben???

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Ja, meine Zeichnung ist nicht 100% Massgetreu.

Ebenfalls stimmt AB=2*CD. Diese Information war kleingedruckt und unterhalb, deshalb habe ich diese vergessen.