Matrix A diagonalisieren

Question

Aufgabe:

Diagonalisieren Sie die folgende Matrix:

A = \( \begin{pmatrix} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)

D. h. berechnen Sie eine Matrix B ∈ R^3×3 und k₁, k₂, k₃ mit

A = B · \( \begin{pmatrix} k1 & 0 & 0 \\ 0 & k2 & 0 \\ 0 & 0 & k3 \end{pmatrix} \) · B⁻¹

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich es berechnen soll.. kann mir jemand bitte helfen..

Rejes

Answer 1

det |A - λ\( \cdot \) E| = 0

-λ³+12λ²-41λ+42=-(λ-2)*(λ-3)*(λ-7) (in Linearfaktoren aufteilen)

λ₁= 2, λ₂= 3, λ₃ = 7

Nun trägst du deine Eigenvektoren in die Diagonale ein:

\( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0  \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 &7 \end{pmatrix} \)

Comments

Dankeschön :) aber wie kommst du auf :

-λ3+12λ2-41λ+42=-(λ-2)*(λ-3)*(λ-7)  ? das verstehe ich leider nicht..

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Also das ist einfach die Zerlegung in Linearfaktoren, einfach gesagt: Bestimme einfach die Nullstellen der Gleichung -λ3+12λ2-41λ+42

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Wie du auf die Gleichung kommst, ist ganz einfach. Du verwendest einfach den Laplaceschen Entwicklungssatz um die Determinate zu berechnen.

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Achsoo ok dankeschön :-)

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Nun trägst du deine Eigenvektoren in die Diagonale ein:

Welche Eigenvektoren und welche Diagonale?

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@100Antworten: -λ3+12λ2-41λ+42=-(λ-2)*(λ-3)*(λ-7)

Woher kommt die 41? Die Determinante ist 42! (zweiundpfirsisch)

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Berechne die Determinante der Matrix mithilfe von Sarrus oder Laplace, dann wirst du auch die selbe Gleichung erhalten, welche du dann Null setzt.

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Merci beaucoup. Danke dir. Grazie mile.

Answer 2

Hallo rejes,

Du bestimmst Die Eigenwerte nebst Eigenvektoren. Die Spalten der Matrix \(B\) setzen sich aus den Eigenvektoren zusammen und die Diagonale von \(D\) (der Diagonalmatrix) aus den Eigenwerten. Dann ist$$A = B \cdot D \cdot B^{-1}$$und hier ist $$\begin{aligned} B &= \begin{pmatrix} 1&-1&0 \\ 1&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} \\ D &= \begin{pmatrix} 7&0&0 \\ 0&3&0 \\ 0&0&2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$ (siehe auch hier)

Gruß Werner

Comments

Danke :)

Also würde es ausreichen wenn ich zu der aufgabe so schreiben würde ?

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Also würde es ausreichen wenn ich zu der Aufgabe so schreiben würde ?

Na ja - kommt darauf an, wie detailliert es werden soll. Die Lösungen für Eigenwerte und -Vektoren fallen ja nicht vom Himmel (so wie hier ;-) ). Die Rechnung, wie Du zu den Werten kommst, wäre sicher noch angebracht.

Weißt Du wie das geht?

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Jaa ich habe es hinbekommen :) :)

Danke nochmal :)

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Ist jetzt \( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix} \)  oder \( \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \) richtig?

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Die Diagonalmatrix findest du in meiner Antwort.

Also wäre die erste korrekt.

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Hallo Marceline,

Die zweite Diagonalmatrix (von Werner) ist richtig!

        A       =            B        •         D        •               B^-1

⎡ 5  2  0 ⎤        ⎡ 1  -1  0 ⎤       ⎡ 7  0  0 ⎤        ⎡  1/2   1/2   0 ⎤
⎢ 2  5  0 ⎥   =   ⎢ 1   1  0 ⎥·  •   ⎢ 0  3  0 ⎥·  •   ⎢ -1/2   1/2   0 ⎥
⎣ 0  0  2 ⎦        ⎣ 0   0  1 ⎦       ⎣ 0  0  2 ⎦        ⎣    0      0    1 ⎦

Gruß Wolfgang

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Vielen Dank, jetzt habe ich es geschafft. :D

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Ist jetzt \(\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}\) oder \(\begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\) richtig?

Beides! Eigenwert und Eigenvektor bilden immer ein Paar. Zum Eigenwert \(7\) gehört$$7 \to \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Zum Eigenwert \(3\) gehört$$3 \to \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$und$$2 \to \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$Man kann die Reihenfolge der Eigenwerte verändern, muss aber die Spalten in \(B\) mit ändern, so dass der Eigenvektor wieder in der Spalte des zugehörigen Eigenwertes steht. Demanch wäre$$A= \begin{pmatrix}0& -1& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 7\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0& 0& 1\\ -0.5& 0.5& 0\\ 0.5& 0.5& 0\end{pmatrix}$$genauso richtig.

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Mit der - bis zu meinem vorherigen Kommentar - einzigen (in Werners Kommentar) angegeben Matrix B (diese war gesucht !) ist allerdings nur die dort von Werner angegebene und von mir bestätigte Diagonalmatrix richtig! 

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Wir haben heute folgende Lösung bekommen. (Unser Tutor war leider nicht da, deswegen keine Erklärung)

Diagonale: ER2 =  \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} 

ER2 = kern \( \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) = span \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \)

ER3 = kern \( \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \) = span \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} \)

ER7 = kern \( \begin{pmatrix} -2 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -5\end{pmatrix} \) = span \( \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \)

Wie kommt man auf die Matrizen und span?

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Hallo Marceline,

Wie kommt man auf die Matrizen und span?

Es ist exakt die selbe Information, die ich Dir schon in meinem letzten Kommentar gegeben habe. Nur eben anders dargestellt.

Es handelt sich um die Berechnung der Eigenwerte und der Eigenvektoren.

Die erste Matrix $$\begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$$ist die gesuchte Diagonalmatrix, wobei die Eigenwerte die Diagonale füllen. Siehe meine Antwort. Ein Eigenwert ist ein Wert \(\lambda\) für den gilt, dass die Gleichung$$(A - \lambda \cdot E) \cdot v = 0$$für \(v\) eine nicht triviale Lösung hat (\(E\) ist die Einheitsmatrix).

Nehmen wir als Beispiel den Wert \(3\). Dann lautet diese Gleichung$$(A - 3 \cdot E) v = 0$$in unseren Fall also$$\begin{aligned} \left( \begin{pmatrix} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} - 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\right) \cdot v = 0 \\ \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot v = 0\end{aligned}$$Diese Gleichungssystem hat eine Lösung für \(v\) wobei gilt \(v != 0\), denn \(v=0\) wäre trivial. In diesem Fall ist $$v = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$$genauer: es ist jedes Vielfache von \(v\). Man kann \(v\) mit jedem Faktor mal nehmen und bekommt immer einen Vektor der bei der Multiplikation mit der Matrix zu 0 wird. Das ist das \(\text{span}\) bzw. der Eigenvektor.

Gruß Werner