Matrix unitär diagonalisieren

Question

Zu diagonalisieren ist die Matrix

          (   66   -18*sqrt(6)   30*sqrt(2)   )

1/90 (   6*sqrt(6)   72   30*sqrt(3)   )

          (   -42*sqrt(2)   -18*sqrt(3)   60   )

(Also die komplette Matrix mit 1/90 multipliziert)

mit einer unitären Matrix.

Ich habe nachgerechnet, dass A*A^t die Einheitsmatrix ist, das heißt es existiert eine ONB aus Eigenvektoren wobei die Matrix dann auch unitär ist. Ich scheiter jedoch an der Eigenwertberechnung - mal abgesehen von den furchtbaren Zahlen, ich erhalteein Polynom dritten Grades, was ich nicht per Hand lösen kann.

Gibt es einen anderen Weg oder was muss ich hier tun?

Answer 1

  Der Art irre Polynome übergib erst mal dem Wolfram; der kann das. Ich spreche aus Erfahrung.

    Ob ein Online Matrixrechner Wurzeln bzw. gebrochene exponenten noch versteht, vermag ich nicht zu sagen.  Auf jeden Fall schnitzt er dir selbst dann noch die Säkulardeterminante, wenn du für die Matrixelemente abstrakte Buchstabenalgebra einsetzest.

Answer 2

Nach meinen Berechnungen lautet das charakteristische Polynom von \(A\)
\(p(t)=\det(tI-A)=t^3-\frac{11}5t^2+\frac{11}5t-1=(t-1)\cdot(t^2-\frac65t+1)\).