wir sollten damals folgendes zeigen:
Es sei n ≥2, n ∈N. Falls für alle Primzahlen p mit n ≡1 mod p eine Zahl a ∈Z existiert, so dass an−1 ≡1 mod n und a(n−1) /p !≡1 mod n gilt, dann ist n eine Primzahl. !≡ soll ungleiche Kongruenz sein.
Als Lösung haben wir folgendes bekommen:
Zum Beweis des Satzes genügt es zu zeigen, dass ϕ(n) durch n−1 teilbar ist. Dazu zeigen wir für jede Primzahl p: pr |n−1 ⇒ pr |ϕ(n) Denn daraus folgt, dass n−1 ein Teiler von ϕ(n) ist, aber es gilt ja immer ϕ(n) < n, also folgt ϕ(n) = n−1, d.h. n ist prim.
Sei p ein beliebiger Primteiler von n−1, und sei pr die größte Potenz von p, die in n−1 aufgeht. Wir wählen eine ganze Zahl a gemäß der Voraussetzung, d.h. an−1 ≡1 mod n, aber a (n−1)/ p !≡1 mod n. Ferner sei m die Ordnung von a, d.h. die kleinste positive ganze Zahl mit am ≡1 mod n. Da a teilerfremd zu n ist, gilt auch aϕ(n) ≡1 mod n. Damit ist m sowohl Teiler von n−1, als auch Teiler von ϕ(n). Andererseits ist m nicht Teiler von (n−1)/p , daher teilt pr auch m. Nun ist pr ein Teiler von m und m ein Teiler von ϕ(n), also teilt pr auch ϕ(n), wie zu beweisen war.
Meine Frage:
Wieso brauche ich dieses pr , also warum kann ich nicht einfach p verwenden?
Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte:)
