Alle natürlichen Zahlen bis 100 mit genau drei Teilern?

Question

hänge gerad an der 4) Aufgabe , kann mir jemand die erklären?

4. Bekanntlich sind Primzahlen diejenigen natürlichen Zahlen mit genau zwei Teilern.

a) Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen im Zahlenraum bis 100 mit genau drei Teilern.

b) Beweisen Sie: Eine natrüliche Zahl mit genau drei Teilern hat nur einen Primteiler.

Comments

Am Ende des Jahres hatte Herr Müller 3421,89€. Er hatte zu einem Zinssatz von 4% seine 3400€ angelegt. An welchem Datum muss Herr Müller das Geld angelegt haben?

Answer 1

4, 9, 25, 49, mehr finde ich nicht.

b) Beweis indirekt:

Annahme: Die Zahl mit 3 Teilern hat mehr als einen Primteiler. ==> Sie hat mindestens 2 Primteiler p und q , wobei p≠q.

Also z= p*q*s          |s beliebige natürliche Zahl (vielleicht 1)

Nun hat z auf jeden Fall die Teiler p, q, pq und 1. Das sind schon 4 Teiler und widerspricht der Annahme, dass die Zahl mit 3 Teilern 2 verschiedene Primteiler hat.

qed. "Zahlen mit 3 Teilern haben nur einen Primteiler."

Comments

Wie kommst du auf z=q*p*s? Es ist doch nicht jede zahl das produkt aus allen seinen teilern!20 ungleich 10*5*2*1 oder nicht?Und ein teiler von z ist ja auch immer z selber.

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"ie kommst du auf z=q*p*s? Es ist doch nicht jede zahl das produkt aus allen seinen teilern!" 

Ja deshalb nehme ich das s noch dazu. Bei deinem Beispiel

20 = 2*5*s            

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Was ist mit der 10 und der 20?

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Bei b) ist die Frage nach Primteilern. Worauf beziehst du dich? 10 und 20 sind keine Primzahlen.

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Got it! Danke... flüchtig gelesen.... also drückt z=p*q*s nur aus das z immer das produkt aus mindrstens 2 seiner teiler ist. Und bei zahlrn mit 3 teilern müssten das nach der vermutung die bei primzahlrn sein Und pq=z ? Richtig? Da das aber bei z.B. der 49 nicht zutrifft givt es nur einen primteiler?

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Ja. Ich habe geschaut, was passiert, wenn man 2 VERSCHIEDENE Primteiler hätte.

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Eine etwas andere Überlegung dazu: Die natürliche Zahlen mit ungerader Teileranzahl sind genau die Quadratzahlen. Die einzige Quadratzahl mit genau einem Teiler ist die 1. Die Quadratzahlen mit genau drei Teilern sind genau die Primzahlquadrate p², diese besitzen offenbar genau den einzigen Primteiler p (Teilaufgabe b). Quadratzahlen mit mehr als einem Primteiler haben die Teiler (pq)² (oder, wenn sie nicht unbedingt als verschieden angenommen werden sollen auch (p²)² ) und damit sicher mehr als drei Teiler.

Zu Teilaufgabe a): Die Primzahlen 2, 3, 5 und 7 sind die einzigen Primzahlen im Zahlenraum bis 10, ihre Primquadrate 2², 3², 5² und 7² sind daher die einzigen Zahlen im Zahlenraum bis 100 mit genau drei Teilern.