Grenzwert bestimmen (x-> pi/4) tanx^tan2x

Question

Aufgabe:

\( \lim\limits_{x\to\pi/4} \) \( tanx^{tan2x} \)

Problem/Ansatz:

Weiß nicht so genau, wie ich hier anfangen soll. Habt ihr eine Idee? Würde mich freuen.

Liebe Grüße

Answer 1

Ansatz über die e-Funktion:

Lösung: 1/e

Comments

Danke erstmal für die Antwort.

(e^lntanx)^tan2x

Wäre der Ansatz so richtig?

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der weitere Weg:

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An sich hab ich es jetzt verstanden, eine Frage hätte ich noch.

Wie hast du das cos(2x) unter das ln(tanx) gebracht? Zeilen 2/3, Blatt 2

Gruß

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Ich habe den Grenzwertsatz für die Multiplikation angewendet.

http://www.massmatics.de/merkzettel/#!139:Grenzwertsaetze

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aber müsste das dann nicht

\( \lim\limits_{x\to\pi/4} \) \( \frac{sin2x}{cos2x} \) * \( \lim\limits_{x\to\pi/4} \) ln(tanx)

Sein? Man betrachtet ja dann die Grenzwerte differenziert der jeweiligen Produkte. Warum \( \frac{lntanx}{cos2x} \) ? ☺

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Du mußt das so machen, das Du einen " Festen Wert " bekommst.

Answer 2

nutze tan(2x)=2tan(x)/(1-tan(x)^2)

Setze nun tan(x)=z . wenn x gegen pi/4 strebt, dann strebt z gegen 1.

Also

lim z--->1  z^{2z/(1-z^2)}

Es ist 2z/(1-z^2)=-1/(z+1)-1/(z-1)

Da der Term im Exponenten steht und

lim z--->1 z^(-1/(z+1))=1 gilt, braucht nur der zweite Summand betrachtet zu werden.

Also= lim z--->1 z^(-1/(z-1))

Substituiere nun -1/(z-1) =n

-1/n +1=z

=lim n--->±oo (1-1/n)^n

Das ist die Definition von e^(-1)