Erzeugendensystem und lineare Unabhängigkeit bestimmen

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Habe für alle Aufgaben mit Hilfe des Gauß-Verfahrens den Rang "berechnet". Damit kann ich sehen ob es ein Erzeugendensystem ist und auf lineare Abhängigkeit prüfen.

(i) Rang=2 → Erzeugendensystem des ℝ² , linear unabhängig

(ii) Rang=1 → Erzeugendensystem: nein , linear abhängig

(iii) Rang=3 → Erzeugendensystem des ℝ³ , linear unabhängig

(iv) Rang=2 → Erzeugendensystem: nein , linear abhängig

(v) Rang=3 → Erzeugendensystem des ℝ³ , linear abhängig

Habe ich das richtig gemacht?

Die Regeln, die ich verstanden habe, sind folgende:

1) Erzeugendensystem: Wenn der berechnete Rang bzw. Dimension gleich der Dimension des Ausgangsmatrixes ist, dann ist es ein Erzeugendensystem. Z.B.: Vektoren haben 3 Zeilen und berechnete Matrix hat 3 Zeilen ≠ 0, dann ist es ein EZS.

2) Lineare (Un)abhängigkeit: Der Rang muss gleich mit der Anzahl der betrachteten Vektoren sein. Wenn das zutrifft, ist es linear unabhängig, ansonsten abhängig.

Liege ich da richtig?

Vielen Dank schonmal.

Comments

Update: Ich habe diese Aufgabe eben mit viel Recherche gelöst!

Die Lineare Unabhängigkeit habe ich mit Hilfe der Determinante rausgefunden.

Erzeugendensystem habe ich mit dem Rang rausgefunden.

Korrektur:

(iv) war falsch. So ist es korrekt:

(iv) Rang=2 → Erzeugendensystem: nein , linear unabhängig

Info:

Bei (v) gibt es 4 Vektoren. Aufgrund der Eigenschaft von ℝ³ sind 4 oder mehr Vektoren linear abhängig!

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(iv) Rang=2 → Erzeugendensystem: nein , linear unabhängig

3 linear unabhängige Vektoren des ℝ³ bilden immer eine Basis, also auch ein EZS.

richtig:  (iv) Rang=2 → Erzeugendensystem: nein , linear abhängig

Answer 1

Also deine Ergebnisse stimmen nach deiner eigenen Korrektur (bis auf iv die Vektoren sind linear abhängig, hab da nicht genau aufgepasst:)

Generell kannst du lineare Unabhängigkeit daran erkennen, wenn an unterschiedlichen Zeilen eine 0 steht. Dann sparst du dir nämlich das ganze Rechnen:)

Und falls du doch Rechnen musst:

det = 0, dann sind deine Vektoren linear abhängig.

det ≠ 0, dann sind deine Vektoren linear unabhängig.

Außerdem gilt: \(\lambda_1 \cdot v_1 + \lambda_2 \cdot v_2 + \dots + \lambda_n v_n \) = 0 für lineare Abhängigkeit (und ≠0 für lineare Unabhängigkeit).

Was weißt du, wenn du ein linear unabhängiges Erzeugendensystem hast? Es bildet eine Basis des entsprechenden Raumes.

Hoffe, dass ich dir weiterhelfen konnte. Hast aber schon alles richtig gemacht:)

Comments

Außerdem gilt: λ₁⋅v₁+λ₂⋅v₂+⋯+λ_n·v_n = 0 für lineare Abhängigkeit (und ≠0 für lineare Unabhängigkeit).

So kann man das doch wirklich nicht formulieren.

Generell kannst du lineare Unabhängigkeit daran erkennen, wenn an unterschiedlichen Zeilen eine 0 steht.

(iv)  ist dafür z.B. ein Gegenbeispiel !

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Sag mir bitte, warum man das nicht so formulieren kann.

Ich hätte vielleicht erwähnen, dass sich

Generell kannst du lineare Unabhängigkeit daran erkennen, wenn an unterschiedlichen Zeilen eine 0 steht.

auf die lineare Unabhängigkeit beziehungsweise Abhängigkeit zweier Vektoren bezieht.