Integral mit oberer Schranke und wachsender Monotonie

Question

Aufgabe:

(a) Γ(x) = \( \int\limits_{x}^{1} \)  t^y-1 * e^-t  dt

Zeige, dass die obere Funktion Γ:(0,1) → ℝ für y ∈ (0,1)  nach oben beschränkt und monoton steigend ist

(b) Γ(x) = \( \int\limits_{1}^{x} \)  t^y-1 * e^-t  dt

Zeige, dass die obere Funktion Γ:(0,1) → ℝ für y ∈ (0,1)  nach oben beschränkt und monoton steigend ist

(c) Folgere daraus dass für alle x ∈ (0,1) das Integral Γ(x) = \( \int\limits_{1}^{\infty} \) t^y-1 * e^-t  dt existiert.
Problem/Ansatz:

Für (a) hatte ich folgenden Ansatz:

Wir überprüfen, ob unsere Funktion f = t^y-1 * e^-t  auf dem Intervall stetig ist. Da es sich um eine Verkettung von stetigen Funktionen handelt, ist sie selber stetig. Somit wissen wir, dass f sowohl ein Maximum als auch ein Minimum hat auf [0,1]. Mit dem Wissen, dass ein Maximum existiert, folgert man, dass die Funktion nach oben beschränkt ist und somit monoton wachsend.

(b) hätte ich ebenfalls so erklärt gehabt, denn hier wurden die Integralsgrenzen ausgetauscht, womit sich das Verhalten unserer Funktion nicht ändern sollte..

(c) Ein Integral exisitiert nur dann, wenn ein Grenzwert existiert. Man weiß, dass für das Integral [0,1] ein Maximum existiert, das einen Hinweis auf einen Grenzwert hinterlässt. Somit existiert das Integral.

Meine Frage nun.... Stimmt mein Ansatz so, oder habe ich was falsch verstanden/ übersehen?

Vielen Dank!

Comments

(c) Folgere daraus dass für alle x ∈ (0,1) das Integral Γ(1) = ∫_(1)^(∞) t^(y-1) * e^(-t)  dt existiert.

So gemeint?

Nun zu a) und b)

Was ist eigentlich y ? Γ(x) ist dann ja ein Γ(x,y). Oder?

Was ist mit "obere Funktion" gemeint? Das Γ(x) eine Zeile weiter oben?

---

Hey! :) leider stand nichts zu y in der Aufgabenstellung... Ich hätte ebenfalls auf eine zweimensionale Funktion getippt. Im Internet stand, dass es sich bei der Funktion um eine Gammfunktion handelt.

---

Gammafunktion hat aber zumindest hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Gammafunktion

zwei mal die gleiche Variable in der Formel.

Lies aber am besten den ganzen Wikipedia-Artikel, wenn du eine Gammafunktion verwenden möchtest.

---

Gibt es eventuell eine andere Möglichkeit die Aufgabe ohne die Verwendung der Gammafunktion zu lösen? Meine Übungsleitung hat gemeint, dass wir ohne die Gammafunktion auskommen sollten.. Würde mein Ansatz passen, wenn man davon ausgeht, dass Γ(x,y) ein zweidimensionale Funktion ist?

---

Und tut mir Leid, dass ich nicht auf deine andere Fragen geantwortet habe, aber ja mit "oberen Funktion" Γ(x) eine Zeile weiter oben gemeint.

Was meinst du allerdings mit deiner Antwort zu (c)?

---

Die Übungsleitung hat mir wieder geschrieben:

" In a) und b) wird y als fix betrachtet, so dass das Gamma nur eine Funktion von x ist. Man soll entsprechend zeigen, dass die Funktionen bzgl x beschränkt und monoton sind. In Teil c) steht dann erst die richtige Gammafunktion (beachte, dass dort x an die Stelle des y vorher tritt). Es wird nicht vorausgesetzt, dass man die Gammafunktion kennt. "

(c) habe ich falsch abgeschrieben, hier sollte als Integral: Γ(x) = \( \int\limits_{0}^{\infty} \) t^x-1* e^-t stehen. Somit würde die eigentliche Schreibweise der Gammafunktion damit übereinstimmen...
Sorry für den Spam! >.<