Berechnen Sie das Linienintegral

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion $u: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}$ mit $u(x)=u\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}$ sowie die Kurve

$\Gamma=\left\{\left(\begin{array}{c} \cos t \\ \sin t \\ t \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3}: t \in[0,2 \pi]\right\}$

Berechnen Sie das Linienintegral $\int \limits_{\Gamma} u \mathrm{~d} s$.

Answer 1

hi

gesucht ist das kurvenintegral erster art würde ich sagen.

guckst du z.b. hier http://www.virtual-maxim.de/kurvenintegral-1-art-berechnen/

in deiner aufgabe wird u(x) wird über die gammafunktion parametrisiert, würde ich sagen.

$\quad u\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}$
$\Gamma(t)=\left(\begin{array}{c}\cos t \\ \sin t \\ t\end{array}\right)$
$\dot{\Gamma}(t)=\left(\begin{array}{c}\sin t \\ -\cos t \\ 1\end{array}\right)$
$|\dot{\Gamma}(t)|=\sqrt{\sin ^{2} t+\cos ^{2} t+1}=\sqrt{2}$
$u(\Gamma(t))=\cos ^{2} t+\sin ^{2} t+t^{2}=1+t^{2}$
$\int \limits_{\Gamma} u \mathrm{~d} s=\int \limits_{a}^{b} u(\Gamma(t))|\dot{\Gamma}(t)| \mathrm{d} t=\int \limits_{a}^{b}\left(1+t^{2}\right) \sqrt{2} \mathrm{~d} t$

Für a kannst du z.b. 0 setzen und für b 2π.

lg

Comments

Danke, mein problem war zu erknennen das sin²+cos² = 1 ist hatte das additionstheoreme vergessen und bin dann davon ausgegangen das es zu schwer sei  :).