Aufgabe:
Ein Objekt befindet sich auf einer nach innen gerichteteten, spiralförmigen Trajektorie C. Deren x− und y−Komponenten können dargestellt werden durch
\(C(t)=\left[\begin{array}{l} x(t) \\ y(t) \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} e^{-3 t} \cos (6 t) \\ e^{-3 t} \sin (6 t) \end{array}\right], t \in[0,2 \pi]\)
Das Objekt bewegt sich in einem Potentialfeld
\(V(x, y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\)
Berechne das Linienintegral der Trajektorie des Objekts durch das Potentialfeld:
\(J=\int_{C} V(x, y) d s\)
Als Unterstützung wurde mit das gegeben:
\(J=\int_{C} V(x, y) d s=\int_{0}^{2 \pi} V(x(t), y(t))\left\|\frac{d C(t)}{d t}\right\| d t\)
Und man soll trigonometrische Identitäten, sowie binomische Formeln nutzen.
Problem/Ansatz:
Ich habe x(t) und y(t) in V(x,y) eingesetzt und durch trigonometrische Identitäten folgendes erhalten:
\(V(t)=e^{6t}\)
Bei dem zweiten Term \(\left\|\frac{d C(t)}{d t}\right\| \) bin ich mir nicht sicher, was ich machen soll. Ich habe die Ableitung gebildet und wollte den Betrag berechnen. Da kommt aber nichts gutes raus.
Viele Grüße Simplex
