Funktionen, Abbildung, Beweis

Question

Aufgabe:

Es seien M,N nichtleere Mengen und f : M → N sei eine Abbildung. Wir defenieren
auf der Potenzmenge von M die Abbildung:

φ: P(M) → P(M), A  |-----> f ^-1(f(A))

b.) Zeigen Sie: Für alle Elemente P(M): φ(A) ⊇ A

Problem/Ansatz:

Ich bin mir nicht ganz sicher ob ich die Aufgabenstellung verstanden hab da ich die Abbildung ziemlich verwirrend/kompliziert finde.

Oben steht ja: φ: P(M) → P(M), A  |-----> f ^-1(f(A))

Bedeutet das so viel wie:

1. Die Abbildung φ, bildet von der Potenzmenge von M in die Potenzmenge von M ab.

2. A wird in die Funktion von f(A) geschickt und diese wiederum in die Umkehrfunktion ??

Und unten steht ja P(M): φ(A) ⊇ A, was bedeutet das denn wiederum?

Das P steht für die Potenzmenge.

Comments

Hallo

1 und 2 hast du richtig interpretiert. f(A) muss nicht in P(M) liegen, da es in N liegt aber f^-1(f(A)) liegt wieder in P(M)

φ(A) ⊇ A, heisst A  ist Teilmenge von φ(A) oder = φ(A)

Gruß lul

Answer 1

Zeigen Sie: Für alle Elemente P(M): φ(A) ⊇ A

Also musst du nur zeigen:

Sei A⊆M und sei x ∈ A, dann gilt auch  x ∈  φ(A) .

Sei also x ∈ A also auch  x ∈ A . Da f eine Abbildung von

M nach N ist existiert also f(x) und liegt in N, ja sogar in f(A).

Nun ist also f^(-1)(f(A) ) zu bilden. Das ist die Menge aller

z, die durch f auf f(A) abgebildet werden. Da f(x)∈f(A) ist eines

sicher das x mit dem wir begonnen haben, also gilt

x ∈ f^(-1)(f(A) )  =  φ(A) .    q.e.d.