Zeige dass die Abbildung den oberen komplexen halbraum bijektiv

Question

hallo !

Gibt es jemanden, der mir helfen kann

Zeige, dass die Abbildung f : C → C, definiert durch f : z →( z−i)/ (z +i ) den oberen komplexen Halbraum {z ∈ C : Imz > 0} bijektiv auf das Innere des Einheitskreises {z ∈ C : |z| < 1} abbildet und gib die Umkehrfunktion an.

Answer 1

Hallo,

dei Behauptung ist, dass für im(z)>0 das Bild von z unter f erfüllt: |f(z)|<1. Um Schreibarbeit zu sparen: Dies ist äquivalent zu \(|f(z)|^2<1\). Für \(z=x+yi\) gitl:

$$|f(z)|^2= \frac{|z-i|^2}{|z+i|^2}=\frac{x^2+(y-1)^2}{x^2+(y+1)^2}=\frac{x^2+y^2-2y+1}{x^2+y^2+2y+1}$$

Und man sieht: Der Bruch ist kleiner als 1 genau dann, wenn y>0.

Die Frage der Bijektivität klären wir durch direkte Berechnung der Umkehrfunktion: Für \(z,w \in \mathbb{C}\) gilt:

$$f(z)=w \iff z-i=w(z+i) \iff (1-w)z=iw+i \iff z=\frac{i+iw}{1-w}$$

Einzige Ausnahme ist w=1, aber das liegt ja nicht im Inneren des Einheitskreises.

Gruß

Comments

Wofür steht das w

Danke war bisher sehr hilfreich

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w ist einfach eine Variable. Man bestimmt die Umkehrfunktion von f, indem man zu w aus dem vorgesehenen Wertebereich (hier das Innere des Einheitskreises) ein z imn Definitionsbereich findet mit f(z)=w. Anders: Man löst die Gleichung f(z)=w nach z auf.

Gruß