Aufgabe:
Sei f: X → Y eine surjektive Abbildung. Zeigen Sie, dass für jede Teilmenge B ⊂ Y gilt: f( f-1(B)) = B
Problem/Ansatz:
Um das zu beweisen muss f( f-1(B)) ⊂ B und B ⊂ f( f-1(B)) bewiesen werden.
Ich habe die Lösung, jedoch verstehe ich den Beweis nicht ganz.
f( f-1(B)) ⊂ B ⇒ ∀y ∈ f( f-1(B)) gilt y ∈ B (1.)
⇒ ∃x ∈ f-1(B) für das gilt y = f(x) (2.)
...
Warum kann von (1.) auf (2.) geschlossen werden? Alle y könnten ja von x abgebildet werden, welche nicht in dem Urbild von B sind.
f(f-1(B)) könnte theoretisch (natürlich nicht weil der Satz bewiesen ist, aber halt für mein Verständnis) eine andere Menge in Y abbilden, deren y nicht Element von B sind. Wo ist hier der Widerspruch?
