Passt das so oder ergibt das gar keinen Sinn?

Question

Aufgabe:

Sei (G, ⋄, e) eine Gruppe und g, h ∈ G. Beweisen Sie:
(g5 = e) ∧ (g3⋄ h = h ⋄ g3)⇒ [g ⋄ h = h ⋄ g] .

Problem/Ansatz:

wir nutzen $$a \cdot b = b \cdot a$$ für alle $$a$$ und $$b$$ in G.

Umformen zu $$(g^5 \cdot g^3 \cdot h = e \cdot h \cdot g^3)$$
Nutzen $$ a \cdot a^{-1} = e$$ für beliebiges element $$a$$ der gruppe G zum umformen $$(g^2 \cdot h = h \cdot g^3)$$
nutzen $$a \cdot b = b \cdot a$$ zum umformen $$g \cdot h \cdot g^{-1} = h \cdot g \cdot g^{-1}$$ vereinfachen $$g \cdot h = h \cdot g$$
Aussage $$(g^5 = e) ∧ (g^3⋄ h = h ⋄ g^3)) -> (g ⋄ h = h ⋄ g)$$ ist wahr.

Passt das so oder ergibt das gar keinen Sinn?

Answer 1

Wie schon oben von oswald erwähnt, benutzt du Kommutativität, die gar nicht vorausgesetzt ist und auch nur für die beiden Elemente g und h zu beweisen ist.

Hier ein möglicher Weg:

\(g^3hg^2 =hg^5 = h \Rightarrow hg = g^3hg^3 =g^6h = gh\)

Fertig.

Answer 2

Das ergibt gar keinen Sinn.

wir nutzen \(a \cdot b = b \cdot a\) für alle \(a\) und \(b\) in G.

Wenn du das nutzen dürftest, dann wäre insbesondere

        \(a \cdot b = b \cdot a\)

für \(a = g\) und \(b = h\). Das hieße aber es gelte

  \(g \cdot h = h \cdot g\)

und der Beweis wäre fertig. Du darfst es aber nicht nutzen.

Stattdessen:

1. Multipliziere die Gleichung \(g^3\diamond h = h \diamond g^3\) von links mit \(g^3\) und verwende \(g^5 = e\).
   
2. Multipliziere die Gleichung \(g^3\diamond h = h \diamond g^3\) von rechts mit \(g^3\) und verwende \(g^5 = e\).
   

Comments

$$[g^6 \diamond h = h \diamond g^6]$$ also so? und wie ist dann das $$g^5$$ darauf anzuwenden? dankeschön für die Hilfestellung

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\([g^6 \diamond h = h \diamond g^6]\)

Auf der linken Seite hast du \(g^3\) von links an \(g^3\diamond h\) heranmutipliziert.

Auf der rechten Seite hast du \(g^3\) von rechts an \(h\diamond g^3\) heranmutipliziert.

Das darfst du nicht.

Multipliziere die Gleichung \(g^3\diamond h = h \diamond g^3\) von links mit \(g^3\)

Das ergibt die Gleichung

(1)        \(g^3\diamond g^3\diamond h = g^3 \diamond h \diamond g^3\)

welche umgeformt werden kann zu

(2)        \(g^5\diamond g\diamond h = g^3 \diamond h \diamond g^3\).

und verwende \(g^5 = e\).

Damit lässt sich (2) umformen zu

(3)        \(g\diamond h = g^3 \diamond h \diamond g^3\).

Multipliziere die Gleichung \(g^3\diamond h = h \diamond g^3\) von rechts mit \(g^3\)

Das ergibt die Gleichung

(4)        \(g^3\diamond h\diamond g^3 = h \diamond g^3 \diamond g^3\)

welche umgeformt werden kann zu

(5)        \(g^3\diamond h\diamond g^3 = h\diamond g \diamond g^5\).

und verwende \(g^5 = e\).

Damit lässt sich (5) umformen zu

(6)        \(g^3 \diamond h \diamond g^3 = h\diamond g\).

Gleichsetzungsverfahren auf (3) und (6) anwenden ergibt

        \(g\diamond h = h\diamond g\).