Warum gilt 0+0+0+0+...=1/2? Das macht doch keinen Sinn, oder?

Question

ich habe dieses Semester an der Uni angefangen, Mathe zu studieren. Neben dem Eingang zum Hörsaal hängt ein Poster mit der Aufschrift:$$0+0+0+0+\cdots=\frac{1}{2}$$Darunter steht noch der Text: "Die Schöpfung der Welt aus dem Nichts." Mir konnte keiner meiner Studien-Kollegen erklären, was das bedeutet und selbst der Professor hatte keine Idee. Vielleicht habt ihr ja eine Idee, wo das herkommt?

Danke euch im Voraus.

Answer 1

Aloha :)

Coole Idee, da muss man erstmal drauf kommen. Ich vermute, das soll euch "Frischlinge" wachsam machen. Ich würde die Gleichung wie folgt umformen:

$$0+0+0+0+\cdots=\frac{1}{2}$$$$(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots=\frac{1}{2}$$$$1-1+1-1+1-1+1-1\pm\cdots=\frac{1}{2}$$$$(-1)^0+(-1)^1+(-1)^2+(-1)^3+(-1)^4+(-1)^5+(-1)^6+(-1)^7\pm\cdots=\frac{1}{1-(-1)}$$Mit \(q=-1\) führt uns das auf die geometrische Reihe:$$\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\quad\text{wenn }|q|<1$$

Erkennst du das Problem? Die geometrische Reihe würde den Wert \(\frac{1}{2}\) der 0-Summe erklären. Sie konvergiert für \(|q|<1\), wurde hier aber für \(q=-1\) angwendet. Man hat also einen mathematischen Satz angwendet, ohne die Voraussetzungen vorab zu prüfen.

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Deine Version ist für Akademiker*innen, meine fürs Küchenpersonal. :)

Answer 2

0+0+0+0+...

=1-1+1-1+1-1+...

Die Zwischenergebnisse der zweiten Zeile sind 1; 0; 1; 0; 1; 0;...

Nun kommt der Witz:

Das Ergebnis muss der Mittelwert aus 0 und 1 sein, also \(\frac{1}{2}\).

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Auch eine schöne Idee... :)

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Man kann bei der Summe von Grandi ganz crazy Dinge machen. (Sagt ja auch Riemann) Im Cesaro-Mittel ist das Ergebnis aber in der Tat 1/2.

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Ich meine, es gibt ein Video von Numberphile auf dessen Grundlage:

1+2+3+...=-1/12

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Hier ist es:

Und bei Wolframalpha:  1+2+3+... = -1/12