Abschätzung macht keinen Sinn, wo liegt der Fehler?

Question

Aufgabe:

Sei \( X:=[1, \infty) \) und
\( T: X \rightarrow X, \quad x \mapsto x+\frac{1}{x} \)

(b) Zeigen Sie, dass \( |T(x)-T(y)|<|x-y| \) für alle \( x, y \in X \) mit \( x \neq y \).
(c) Zeigen Sie, dass \( T \) keinen Fixpunkt hat. Warum ist das kein Widerspruch zum Banachschen Fixpunktsatz?

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz zur (b) ist folgender:

\( \begin{array}{l}\text { (b) }|T(x)-T(y)|=\left|x+\frac{1}{x}-\left(y+\frac{1}{y}\right)\right| \\ =\left|x+\frac{1}{x}-y-\frac{1}{y}\right|=\left|x-y+\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right| \\ \leq|x-y|+\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right|<|x-y| ?\end{array} \)

,aber diese Abschätzung macht ja keinen Sinn. Weiß jemand, wo der Fehler liegen könnte?

Bei der (c) habe ich leider keine Idee.

Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Dankeschön :-)

Comments

Tipp zu b): Der MWS kann dir weiterhelfen.

Zu c): Welche Voraussetzung des Fixpunktsatzes ist denn nicht erfüllt?

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Passt das so für die (b)?

Nach dem Mittelwertsatz existiert ein \( \xi \in(x, y) \), sodass
\( \begin{array}{l} |T(x)-T(y)|<\left|T^{\prime}(\xi)\right||x-y| \\ T^{\prime}(x)=1-\frac{1}{x^{2}} \\ \left.c|T(x)-T(y)|<|\underbrace{1-\frac{1}{\xi^{2}}}_{<1}|| x-y|<| x-y \right\rvert\, \quad \forall x, y \in x \end{array} \)

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Das erste < ist (allgemein) falsch.

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Ja hab es grade gemerkt, vielen Dank! Ich verstehe jetzt auch bei meiner anderen Frage wie man den Mittelwertsatz für die Abschätzung verwendet. Dankeschön :-)

Answer 1

Zeigen Sie, dass TT keinen Fixpunkt hat.

Zeige dass es kein \(x \in X\) mit \(x = x+\frac{1}{x}\) gibt.

Warum ist das kein Widerspruch zum Banachschen Fixpunktsatz?

Weil \(T\) eine der Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes nicht erfüllt.