Fixpunktsatz von Banach, Abschätzung

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mit Hilfe des Fixpunktsatzes von Banach, dass das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung x* aus ℝ² besitzt.

Zu zeigen ist letzten Endes nur die Kontraktionseigenschaft (alle anderen Voraussetzungen ergeben sich von selbst):

Es existiert θ∈[0; 1) mit norm(Φ(x)-Φ(y)) ≤ θ * norm(x-y) für alle x,y∈ℝ²

Problem/Ansatz:

Das in der Aufgabe gegebene Gleichungssystem kann umgeformt werden zur Funktion

Φ(x₁,x₂)=( (3x₁-x₂ ) - (x₂+cos(x₁)) , (x₁+3x₂ ) - (sin(x₁ + x₂)) -1)^T

Außerdem ist gegeben, dass θ=4/5 und als Norm soll die ∞-Norm angewandt werden.

Ich brauche jetzt also eine geeignete Abschätzung für Φ. Vermutlich müssen der Sinus und Cosinus mit 1 abegschätzt werden, da das ihr Maximum ist und ja die Maximumsnorm angewandt werden soll. Aber ich weiß nicht, wie man diese Abschätzung durchführt. Hat jemand Ideen?

Comments

Wie soll eine Funktion ein GS  sein?

lul

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Das war die ursprüngliche Aufgabenstellung. Man musste einige Schritte machen, bis man letztlich bei φ ankam. Man braucht jetzt nur die Abschätzungen machen, sodass die Kontraktionseigenschaft für φ erfüllt ist. Also im Endeffekt spielt es keine Rolle, wie man vom dem GS zur Funktion kam. Aber ich komme einfach nicht auf die Abschätzung.

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Hallo,

die Abschätzung wird nicht klappen. Die erste Komponenten von \(\Phi\) ist

$$f(x_1,x_2)=3x_1-2x_2-\cos(x_1)$$

Also

$$f(0,x_2)-f(0,y_2)=-2(x_2-y_2)$$

Damit wäre eine Lipschitz-Konstante mindestens 2.

Gruß

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Das ist die ursprüngliche Aufgabe

Text erkannt:

Gegeben sei das nichtlineare Gleichungssystem
(b) Zeigen Sie mit Hilfe des Fixpunktsatzes von Banach, dass das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung \( x^{*} \in \mathbb{R}^{2} \) besitzt.

Hinweis: Verwenden Sie die \( \|\cdot\|_{\infty} \) -Norm und zeigen Sie, dass \( \theta=\frac{4}{5} \) eine geeignete Wahl für

Und das habe ich bisher gemacht

Text erkannt:

voulgale
3.2
\( a) \) is gret \( x=\Phi(x) \Leftrightarrow x=\overbrace{F(x)+x} \Leftrightarrow \mp(x)=0 \)
\( \Rightarrow \quad F\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}3 & -1 \\ 1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}x_{2}+\cos \left(x_{1}\right) \\ \sin \left(x_{1}+x_{2}\right)\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right) \)
\( \left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right)=\underbrace{F\left(x_{1}, x_{2}\right)+\left(\begin{array}{l}x_{n} \\ x_{2}\end{array}\right)}_{\Phi\left(x_{1}, x_{2}\right)}=\left(\begin{array}{c}3 x_{1}-x_{2} \\ x_{1}+3 x 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}x_{2}+\cos \left(x_{1}\right) \\ \sin \left(x_{1}+x_{2}\right)\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right) \)
\( \sqrt{ } \)
\( \phi(x) \in \mathbb{R}^{2} \) live alle \( x \in \mathbb{R}^{2} J \)
\( z . z \). Ton traktionsergenschalt
\( \|\phi(x)-\phi(y)\|_{\omega} \leq \theta\|x-y\|_{\infty} \)
Pivr \( \theta=\frac{4}{5} \)

Ich weiß nicht, wo ich den Fehler gemacht haben sollte. Sieht es jemand?

Answer 1

Hallo,

es gibt viele Möglichkeiten, ein Nullstellen-Problem in ein Fixpunkt-Problem umzuwandeln. Einige sind hilfreich, andere nicht.

Dein Problem hat die Struktur:

$$F(x)=Ax-f(x)-c$$

mit der Matrix \(A= \begin{pmatrix} 3 & -1 \\1 & 3\end{pmatrix}\). Dies kann man so zu einem Fixpunktproblem umformen:

$$F(x)=0 \iff x=A^{-1}(f(x)+c)=: \Phi(x)$$

Eine überschlägige Rechnung liefert hierfür auch die angegeben Konstante 4/5.

Noch ein Hinweis zur Berechnung der KOnstanten: Mittelwertsatz der Differentialrechnung ( im Mehrdimensionalen).

Gruß MathePEter