Nachtrag: Ich bin doof, habe es jetzt verstanden. Die skalare Multiplikation soll abgeschlossen sein für alle a aus dem Körper, somit auch für -1, womit man dann das inverse von jedem Element in U bilden kann, solange nur eins drin ist. Dann muss auch die 0 enthalten sein, auf Grund der Abgeschlossenheit in der Vektoraddition. Ich habe den Zusammenhang nicht gesehen, dass (i), (ii) und (iii) nur zusammen den Untervektorraum beweisen und die nicht leere Menge nicht als Beweis ausreicht. Und das man davon ausgeht, dass alle Elemente aus dem Körper für die skalare Multiplikation benutzt werden können und das Ganze trotzdem abgeschlossen sein muss hatte ich auch nicht gesehen.
Ich verstehe eine Sache aus der Vorlesung nicht. Es wird gesagt, dass folgende drei Aussagen äquivalent sind:
1)
(i) U ist ein Untervektorraum von V.
2)
(i) 0 ist in U.
(ii) U ist abgeschlossen bezüglich +
(iii) U ist abgeschlossen bezüglich der skalaren Multiplikation.
3)
(i) U ist nicht die leere Menge.
(ii) U ist abgeschlossen bezüglich +
(iii) U ist abgeschlossen bezüglich der skalaren Multiplikation.
Wie man nun schon sieht sind Punkt 2) und 3) gleich, bis auf Kriterium (i). Bei 2) wird gesagt Null ist ein Element von U und bei 3) wird gesagt U ist nicht die leere Menge.
Ich verstehe, dass man aus 1) herleiten kann, dass U ein Untervektorraum ist.
Ich verstehe, dass man aus 2) herleiten kann, dass U ein Untervektorraum ist.
Aber bei der 3) verstehe ich es nicht. Der Professor sagt immer:
"Da für einen Untervektorraum die Operationen abgeschlossen sind, muss auch das Inverse von dem Element was in U, ungleich die leere Menge, liegt existieren, und wenn man das Inverse mit diesem Element verrechnet erhält man auch, dass die 0 ein Element von U ist, was äquivalent zur Aussage 2) und 1) ist."
Ich verstehe jedoch nicht wie das funktionieren soll, wenn man dann beweisen soll, dass etwas ein Untervektorraum ist. Ich kann ja nicht hingehen und sagen: Ok, hier ist jetzt ein Element in U und ich gehe einfach mal davon aus, dass es ein Untervektorraum ist und deshalb auch das Inverse Element vorhanden ist, WENN ich erstmal beweisen soll, dass es überhaupt ein Untervektorraum ist.
Das ist ja so als würde ich beweisen, dass etwas ein Körper ist, indem ich sage: Also hier haben wir einen Körper, weil im Körper die Axiome eines Körpers gelten sollen, und das nehme ich jetzt einfach mal an, weil ich ja beweisen soll, dass es ein Körper ist.
Das macht doch keinen Sinn, was verpasse ich hier?
