y= 2 wurzel (x) und y= 1/4 x^2 Schnittstellen beider Funktionen ermitteln

Question

y=2√x und y= 1/4 x²

wie ermittelt man die Schnittstellen beider Kurven?

kann jemand den Rechenweg genau darstellen?

Answer 1

Hi,

Du musst dafür die Funktionen gleichsetzen.

$$2\sqrt{x} = \frac14 x^2 \quad  |:2,\text{ dann }-\sqrt{x}$$

$$\frac18 x^2 - x^{\frac12} = 0$$

Nun kann man \(x^{\frac12}\) ausklammern. Dabei ist \(x^2 = x^{\frac{4}{2}} = x^{\frac32 + \frac12} = x^{\frac32}\cdot x^{\frac12}\).

(Das war jetzt sehr ausführlich, das kann man in einem Schritt machen ;))

$$x^{\frac12}\left(\frac18x^{\frac32} - 1\right) = 0$$

Nun ist das Produkt Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.

$$x_{1} = 0$$

$$\frac18x^{\frac32}-1 = 0\quad|+1,\text{ dann }\cdot 8$$

$$x^{\frac32} = 8\quad|\text{quadrieren}$$

$$x^3 = 64\quad|\sqrt[3]{}$$

$$x = 4$$

Du hast also die beiden Schnittstellen x = 0 und x = 4.

Grüße

Answer 2

Also, wenn du Schnittpunkte bestimmen willst, dann setzt du die Funktionen gleich.

2\( \sqrt{x} \) = \( \frac{1}{4} x^2 \) |: \( \sqrt{x} \)

2 = \( \frac{1}{4} \frac{ x^2}{\sqrt{x}} \) | * 4

8 = \(\frac{ x^2}{\sqrt{x}} \)

8 = \(x^{\frac{3}{2}}\)

=> x = 0 v x = 4

Edit Unknown: Latex korrigiert.

Comments

für was steht die Abkürzung "frac"

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wie komme von x^3/2= 8 auf 4

Answer 3

2√x = 1/4 x^2 |*4

8√x =  x^2  |(..)^2

64 x= x^4

x^4 -64x=0

x(x^3-64)=0 Satz vom Nullprodukt

x₁=0

x₂=4 und 2 Komplexe Nullstellen, die wahrscheinlich  nicht interessieren

-------->y-Werte bestimmen (Einsetzen in die Ausgangsgleichung)

---->Falls die Punkte gefragt sind:

P₁ (0/0)

P₂(4/4)