Jede stetige Funktion aus [a,b] besitzt in dem Intervall ein Maximum m und
ein Minimum n.
Angenommen, es gäbe ein xo ∈[a,b] mit f(xo) > 0 .
Dann muss man wohl 3 Fälle unterscheiden:
xo=a oder a < xo < b oder xo=b .
Ich nehme mal den ersten xo=a.
Wegen der Stetigkeit bei a und f(a) > 0 gibt es etwa zu ε = f(a)/2
ein δ mit | x - a | < δ ==> | f(x) - f(a) | < ε für alle x ∈[a,b] .
Also | f(x) - f(a) | < f(a)/2
f(a)/2 < f(x) < 3f(a)/2
Also ist im Intervall [ a , a+ δ [ die konstante Funktion
vom Wert f(a)/2 eine untere Schranke für f(x) und damit
0 < δ * f(a) / 2
$$≤ \int _ { a } ^ { a+δ } f ( x ) d x $$
$$≤ \int _ { a } ^ { b} f ( x ) d x $$
im Widerspruch zu
$$ \int _ { a } ^ { b} f ( x ) d x =0$$
Die anderen Fälle entsprechend dann mit
$$≤ \int _ { xo-δ } ^ { xo+δ } f ( x ) d x $$ bzw
$$≤ \int _ { b-δ } ^ { b} f ( x ) d x $$
