Question

Zeigen Sie Ann(U) = X und Null(X) = U

Text erkannt:

Gegeben seien die Untervektorräume \( U:=L\left(\left\{v_{1}, v_{2}\right\}\right) \) von \( V_{4}(K) \) und \( X:=L\left(\left\{z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\right\}\right) \) von \( Z_{4}(K)=\left(V_{4}(K)\right)^{*} \).

das ist mega schwer, kann mir jemand helfen?

Comments

Zunächst würde ich mir aus den 4 Elementen z_i eine Basis heraussuchen ....

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und was dann?

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Zunächst würde ich mir aus den 4 Elementen z_i eine Basis heraussuchen ....

Dann würde ich prüfen, ob X Teilmenge von Ann(U) ist. Dann würde ich im Lehrmaterial schauen, ob man die Gleichheit mit Dimensionssätzen schließen kann o der eben nachrechnen muss....

Answer 1

Ann(U) ⊇ X

Dafür reicht doch der Nachweis, dass alle Matrizenprodukte

von einem v_i mit einem z_j die 0 ergeben, also alle z_j

(und damit auch deren Linearkombinationen) annuliieren

alle v_i .

Bleibt zu zeigen, dass jede Linearform aus \( Z_{4}(K)=\left(V_{4}(K)\right)^{*} \),

die beide z_i annuliert, auch in U ist. Also Ansatz :

\(\begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&1&2&3 \end{pmatrix} \cdot x = 0 \)

Gibt: x3=s , x4=t frei wählbar also sehen alle so aus

(s+2t, -2s-3t, s , t ) = s(1,-2,1,0)+t(2,-3,0,1).

Also Ann(U) = L( {(1,-2,1,0),(2,-3,0,1)}.

Die gegebenen z_i sind alle durch die beiden darstellbar,

also auch  Ann(U) ⊆ X.    Somit   Ann(U)=X.