Zeige: Alle Ebenen mit ax + by + cz = 0 im R^3 sind Untervektorräume des R^3.

Question

Zeigen Sie: Alle Ebenen im \( \mathbb{R}^{3} \) der Form

\( U=\left\{\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{3} \mid a x+b y+c z=0, \text { mit } a, b, c \in \mathbb{R}\right\} \)

sind Untervektorräume des \( \mathbb{R}^{3} \).

Answer 1

Prüfe alle Anforderungen an einen Untervektorraum.

1. U enthält (0,0,0), denn 

0a + 0b + 0c = 0 ist ok.

2. Sind (u,v,w) und (r,s,t) Elemente von U, so ist auch (u, v, w) - (r, s, t) in U.

Beweis:

a(u-r) + b(v-s) + c(w-t) = au + bv + cw - ( ar + bs + ct)        |nach Voraussetzung

= 0 - 0 = 0  q.e.d.  (u, v, w) - (r, s, t) ist in U.

Kontrolliere im Skript, ob du sonst noch etwas brauchst und teste das dann noch.