Aloha :)
Wir nehmen Punkt A als Basispunkt und berechnen ausgehend von ihm die beiden Richtungsvektoren:
$$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a=\left(\begin{array}{c}1\\3\\4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-1\\-2\\-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\5\\5\end{array}\right)$$$$\overrightarrow{AC}=\vec c-\vec a=\left(\begin{array}{c}-1\\1\\6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-1\\-2\\-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\3\\7\end{array}\right)$$Damit berehnen wir einen Normalenvektor der Ebene:
$$\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}2\\5\\5\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}0\\3\\7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}20\\-14\\6\end{array}\right)$$Die Geradengleichung lautet daher:
$$\vec n\cdot\vec x=\vec n\cdot\vec a$$$$\left(\begin{array}{c}20\\-14\\6\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}20\\-14\\6\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}-1\\-2\\-1\end{array}\right)$$$$20x-14y+6z=2$$$$10x-7y+3z=1$$