Bestimmen Sie eine Ebenengleichung für E von der Form ax+by+cz=d

Question

Sei \( \mathcal{E} \) die Ebene im \( \mathbb{R}^{3}, \) welche die folgenden Punkte enthält:
$$ A=\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-2} \\ {-1} \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{l} {1} \\ {3} \\ {4} \end{array}\right), \quad C=\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \\ {6} \end{array}\right) $$
Bestimmen Sie eine Ebenengleichung für \( \mathcal{E} \) von der Form \( a x+b y+c z=d \)

Answer 1

Aloha :)

Wir nehmen Punkt A als Basispunkt und berechnen ausgehend von ihm die beiden Richtungsvektoren:

$$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a=\left(\begin{array}{c}1\\3\\4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-1\\-2\\-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\5\\5\end{array}\right)$$$$\overrightarrow{AC}=\vec c-\vec a=\left(\begin{array}{c}-1\\1\\6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-1\\-2\\-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\3\\7\end{array}\right)$$Damit berehnen wir einen Normalenvektor der Ebene:

$$\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}2\\5\\5\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}0\\3\\7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}20\\-14\\6\end{array}\right)$$Die Geradengleichung lautet daher:

$$\vec n\cdot\vec x=\vec n\cdot\vec a$$$$\left(\begin{array}{c}20\\-14\\6\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}20\\-14\\6\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}-1\\-2\\-1\end{array}\right)$$$$20x-14y+6z=2$$$$10x-7y+3z=1$$

Answer 2

Nachdem Du ja scheinbar auf GeoGebra zurückgreifst

E:=(B-A)⊗(C-A)((x,y,z)-A)=0

oder

E:=Cross( (B-A),(C-A))((x,y,z)-A)=0

in CAS oder Algebrafenster