Ich hab mal gesehen, was meine hoch verehelichten Vorgänger schon haben. Stützpunkt ist | P > ; jetzt musst du noch zwei linear unabhängige Vektoren | w1;2 > angeben, die die Ebene | r > aufspannen.
| r > ( u ; v ) := | P > + u | w1 > + v | w2 > ( 1a )
( Ich halte mich weit gehend an die Notation aus deiner Aufgabe; ganz konsistent ist sie nicht. )
Dass die Ebene | r > ( u ; v ) und die Gerade | r > ( t ) beide mit dem selben Buchstaben r bezeichnet werden, ist alles andere als korrekt; nicht nur handelt es sich um zwei verschiedene Funktionen, sondern auch um Funktionen verschiedenen Typs. Wenn | r > ( u ; v ) parallel zu | r > ( t ) , muss es sich einrichten lassen, dass | w2 > in ( 1a ) gleichzeitig Richtungsvektor der Geraden ist:
| w2 > = | 3 ; 2 ; - 2 > ( 1b )
| w1 > = | Q > - | P > = | - 2 ; - 3 ; 3 > ( 1c )
Du fragst, was eine implizite Funktion ist; schau am besten mal in Wiki. Häufig bietet die implizite Darstellung zwei Vorteile: Die Symmetrie zwischen x , y und z wird nicht zerstört; und zweitens ist die implizite Formel häufig kompakter und ästetischer als eine explizit aufgelöste.
Stell dir vor du hast in der Ebene einen beliebigen Punkt T
| T > : = | x ; y ; z > = ( 2a )
= | P > + u | w1 > + v | w2 > | - | P > ( 2b )
u | w1 > + v | w2 > = | T - P > ( 2c )
Dabei habe ich wie üblich den Umformungsschritt in ( 2b ) vermerkt.
Hier ich freu mich ja wie ein Schneekönig, dass diemal ich im Recht bin. Wie rechnest du die Parameterform ( PF ) in die Koordinatenform ( KF ) um? In den Guidelines heißt es
" Halte deine Antwort stets so einfach wie möglich. "
Schon unser Feuerzangenlehrer Dr. Hugo Meder
" Der Hugo ist groß, der Hugo ist mächtig; ein Hugo Meder ist 1.60 m ... "
Schon unser Hugo Meder, der nach jedem " Schööler " mit dem Schlüsselbunde warf, der ihn nicht mit dem korrekten Doktortitel anredete ( Der also gemaßregelte Knabe hatte besagten Schlüsselbund wieder zurück zu bringen ) sprach also:
" Man soll die Stimmen / Nicht zählen, sondern wägen / Denn bei der Minderheit liegt der Verstand. "
Wenn ich mir die Vorschläge zur Umrechnung der PF in KF betrachte, dann stellen sich alle User beliebig kompliziert an: Schüler, Studenten, unsere Administratoren und nicht zuletzt ( ausgewiesene ) Studienräte. Nur einer hatte wirklich eine zündende Idee; bei dem Konkurrenzportal ===> Ly cos der Oberstufenschüler " der Mo " ( von Mohammed )
Warum geht man überhaupt aus von Form ( 2c ) ? Vor dem Billy Mo hat das noch keiner gesehen; weil
1) Form ( 2c ) besagt, dass die drei Vektoren w1 , w2 und | T - P > linear abhängig sind.
2) ergo a tergo IHRE DETERMINANTE VERSCHWINDET .
det ( w1 ; w2 ; T - P ) = 0 ( 3a )
===> " Das waren Zeiten, als der alte Oberförster Hugo noch lebte; Hugo war sein Name. "
" So weit die Teorie " , sprach unser Musiklehrer Pauli; " jetzt kommt die Praxis. "
" Welchen Notenwert hat der Pauli? Halbe Note; hohler Kopf mit Hals ... "
Wir müssen ( 1bc;2a ) einsetzen in ( 3a )
| -2 3 x-3 |
det = | -3 2 y-2 | = 0 ( 3b )
| 3 -2 z+1 |
Gemäß dem ===> Determinanten-Entwicklungssatz wird nach Spalte 3 entwickelt; in diesem Fall bringt das sogar echte Vorteile.
det = | 3 -2 | ( 3 - x ) - | -2 3 | ( y - 2 ) + | -2 3 | ( z + 1 ) = 0 ( 3c )
| 3 -2 | | 3 -2 | | -3 2 |
Die Koeffizienten in ( 3c ) sind selbst 2 X 2 Determinanten; gleich bei dem x-Glied fällt aber auf, dass sich diese Determinante aus zwei gleichen Zeilen zusammen setzt - sie ist Null.
det = 5 ( y - 2 + z + 1 ) = 0 ===> y + z = 1 ( 3d )
Bei der z-Determinante hat Zeile 2 umgekehrtes Vorzeichen wie bei y ; dafür wird aus dem Minuszeichen ein Plus.
Diese Determinante gibt dir automatisch die implizite Form, weil sie weder x noch y noch z einseitig bevorzugt.
