Aussage beweisen oder widerlegen: Ax + By = Cz

Question

Folgende Aussagen sollen bewiesen oder widerlegt werden:

1. Formulierung
Ax + By = Cz hat keine Lösung, wenn A, B, C, x, y und z positive ganze Zahlen sowie x, y und z größer oder gleich 3 sind sowie A, B und C teilerfremd.

2. Formulierung
A, B, C, x, y und z sind positive ganze Zahlen, x, y und z größer 2. Wenn Ax + By = Cz, dann haben A, B und C einen gemeinsamen Primfaktor.

Answer 1

falsch. Ich meine, wenn ich die Frage richtig verstanden habe:

A, B, C seien paarweise teilerfremd und positiv vorgegeben. Daraus folgt, x, y, z haben keine Lösung in den posititven ganzen Zahlen. Dies ist aber falsch, denn:

Sei L = kgV(A, B, C).

Mit x := 3*L / A,

y := 3*L/B,

z := 6*L/C

ist wegen

A*x + B*y = 3*L + 3*L = 6*L = C*z

eine Lösung in den positiven ganzen Zahlen gegeben. q.e.d.

MfG

Mister


PS: Die Lösung enthält zudem nur ganze Zahlen echt größer 2.

Comments

Da nimmst du an, dass x, y und z wirklich Faktoren sein sollen. (dann würde auch x=y=z=3=A, B=4, C=5 passen)

Vielleicht war die Frage wirklich so gemeint. Ich hätte aber gedacht, dass es mehr eine Scherz-Anfrage ist (google mal nach "Beal-Vermutung").

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nein ich habe in diesem Moment tatsächlich nicht den "Fermat'schen Satz" erkannt, da ich glaubte, es handelte sich um eine einfach arithmetische Aufgabe, beispielsweise aus einem Mathematik-Vorkurs.

Aber 3*3 + 3*4 ist nicht 3*5. Das muss ich hier mal kritisch anmerken, Herr Netzer.

MfG

Mister

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Hm, da war ich komischerweise bei den Quadraten von A, B und C :)

Der Satz von Fermat ist das allerdings nicht. Wenn die Beal-Vermutung bewiesen wird, könnte man den Satz von Fermat aber daraus folgern.